黃金比例：1.618...世界上最美的數字（新版）

專文導讀  永遠備受矚目的黃金比例  洪萬生  
推薦文    完美的數學史大翻案      賴以威  
推薦文    數學與音樂、藝術、設計的最佳交集
──黃金比例                      林信安  

譯　序　從數學到藝術，
及我們所知的數學是否萬能？　

第一章　數字的前奏曲　
數不清是世界的奇蹟。——索福克里斯

第二章　和諧音與五角星形　
我看到了宇宙中有一種秩序在，而數學是讓它現身的方法之一。——薩騰

第三章　在一個指向星星，呈Y形的金字塔之下？　
以埃及人鋪造的金字塔為首；巴比倫的花園次之，
為了阿咪蒂斯王妃而造；下一個是愛與罪的莫所羅墓；
第四個，在以弗所的黛安娜女神廟；羅德斯島巨像，黃銅鑄成；
第六個，朱比得塑像，費底亞斯所造；人們說，埃及的法羅斯來得最晚，
或者是用黃金打造的西流士宮殿。——佚名

第四章　黃金比例方程式　
幾何擁有兩件至寶：一件是畢達哥拉斯定理；
另一件是把線段做中末比分割。第一件足以和黃金媲美；
第二件我們或可稱之為珍貴的珠寶。——克卜勒

第五章　費波納奇數字無所不在　
這九個印度數字是：9 8 7 6 5 4 3 2 1。用這九個數字，
再加上這個 0 的符號..可以把任何數字寫出。——費波納奇

第六章　神的比例　
探索我們的起源，是使哲學家頭腦滿足的甜蜜汁液。——帕西歐里

第七章　藝術家也瘋狂？　
繪畫不是一種美感的操作；它是一種魔法，作為這個奇怪的
逆境世界和我們之間的仲裁者。——畢卡索

第八章　從地磚到蒼穹　
畢竟，科學所要做的就是理解、領悟——
科學比起無需動腦筋的計算工作當然重要許多。——潘洛斯

第九章　上帝是一位數學家嗎？　
我應當以幾何方法去處理人類的罪行及愚惷..
從大自然的需求和效力來思考憎恨、憤怒、妒忌等等激情..
因此，我在處理大自然和情感的力量時，會採取一視同仁的態度，
彷彿我所關心的是直線、平面，及立體。——史賓諾莎

不管有些業餘家嘀咕說二加二等於三，或者評論家大聲疾呼說是五，
數學家依舊認定二加二等於四。——惠斯勒

附　錄　1~9

延伸閱讀　

專文導讀

永遠備受矚目的黃金比例
洪萬生  臺灣師範大學數學系退休教授
                    
　　《黃金比例》是一本有關黃金比例與費波納奇數列的數學普及書籍。

　　作者李維歐試圖說明人類對黃金比例的迷戀，似乎有其特殊的文化意義，儘管他強調在埃及金字塔或希臘神廟都找不到其縱跡。這種學者應有的審慎態度，也一樣見諸於本書第七章〈藝術家也瘋狂？〉的論述。另一方面，作者也指出，有關畢氏學派的正五角星形logos，正多面體與柏拉圖的宇宙生成論，以及歐幾里德的中末比（亦即黃金比例）命題、正五邊形作圖，乃至於五種柏拉圖立體存在之證明，都足以說明文藝復興之後的西方學者與藝術家為何如此珍視黃金比例。

　　說得更明確一點，歐幾里得在《幾何原本》之所以引進中末比，顯然是為了正五邊形的尺規作圖，以及只有五種柏拉圖立體之證明。其中，正五邊形這個核心的概念，當然與畢氏學派的神秘正五角星形息息相關。因此，儘管在建築設計與藝術創作中，被認為相當具有和諧美感的黃金比例並不多見，然而，這些扎實的幾何理論，卻成為十五世紀之後，科學家與數學家將黃金比例塑造成為「神的比例」（divine proportion）的基石。

　　不過，黃金比例的神聖性是否得利於費波納奇數列的「無所不在」，作者維持一貫的審慎，並未提供進一步的說明。但儘管如此，在本書第六章〈神的比例〉中，作者引述法蘭契斯卡、達文西與杜勒對於黃金比例的探索，可以見證當時畫家對此一概念的著迷程度。在這個關聯中，作者特別提及數學家帕西歐里如何將法蘭契斯卡在立體方面的研究，「編入」《神的比例》，並邀請達文西為其繪製插圖。如果說這是法蘭契斯卡利用黃金比例透露和諧形體的秘密，那麼，克卜勒也是基於同樣的信念，利用柏拉圖立體建立宇宙模型，因為他相信黃金比例是上帝創世時，所使用的一個基本工具。至於黃金比例的現實應用，作者則在股價漲跌模型及宇宙論等研究主題上，找到頗為重要的例證（參見第八章〈從地磚到蒼穹〉）。這說明純粹基於美學考量的黃金比例，最終在數學家與物理學家的手上，出現重大的應用意義，從而作者也得以「上帝是一位數學家嗎？」，來總結這一趟關於黃金比例的文化史之旅。

　　就數學文化史（cultural history of mathematics）的文類來看，本書類似《從零開始》與《毛起來說無限》，都涉及數學史、哲學史、藝術史與形上學等主題，對讀者的博雅素養有著相當高的期許。不過，本書的內容也可以滿足對數學知識充滿好奇心的讀者。無論如何，這是一本值得高度推薦的數學普及作品。

推薦文

完美的數學史大翻案
賴以威

　　寫數學書有項難處是別的主題所沒有的，它不像心靈勵志書籍，同樣概念可以在不同的著作裡以不同的姿態出現。數學書可就吃虧了，每個概念不僅得用方程式和文字各定義一次，還得安上個專有名詞，怎麼逃也逃不掉。好比說本書的主角，數學界裡最廣為人知的大明星「黃金比例」吧，喜歡數學的讀者看過一本、兩本、三本關於黃金比例的書籍後，就會開始有些膩，覺得怎麼都是1.618，都有隻讓人看了會暈眩的鸚鵡螺，或是已經出現在許多攝影集裡但自己還是沒存夠錢去的希臘巴特農神殿。這是數學講究精確、清楚的原罪。

　　但《黃金比例：1.618...世界上最美的數字》作者李維歐完美地化解了這個重複論述的難題。

　　幾年前流行歷史翻案文：諸葛亮僅善於內政，曹操是位仁君，劉禪之智不亞於其父，長山趙子龍根本是個女的！這些翻案文有些引起爭論，有些還給當事人公道，有些僅是茶餘飯後一笑置之。但不管怎麼說，都讓我們看到了歷史全新的一面。某種程度上，這本書也扮演了相似的角色，它重新梳理了一遍黃金比例的數學史。

　　這時，數學的精確度又派上用場了。例如渾身上下充滿秘密的金字塔，許多文獻都指出可以從金字塔的三圍裡找出黃金比例、圓周率的蹤影，還提供了計算過程。對一般讀者來說，算式相當有說服力，但李維歐發揮科學家質疑一切的特質，不僅驗證算式，還檢驗數據是否可靠，他發現文獻中認定金字塔裡藏有黃金比例所使用的數據根本是錯的。不僅如此，因為埃及的金字塔高度與底座周長比例，埃及人普遍被認為能精確掌握圓周率，但說不定埃及人只是誤打誤撞的將圓周率和法老王一併埋進了金字塔裡。

　　有別於人文的歷史翻案，李維歐的論述除了有史料佐證，還有更多透過數學檢驗。他脫下了黃金比例被過度神化的面貌，同時又提醒我們抬起腳來、或是轉身看看，這兒和那兒也都有黃金比例。我個人最喜歡的是李維歐在本書中旁徵博引，將從古至今的數學家留下的經典格言像珠寶般地散落在段落間。這些偉大的數學家們長期被數學淬煉出的邏輯、人生觀，有些時候比黃金比例更讓人深思。

　　你已經看完這本書最無趣之處了，接下來的部分，只會越來越有趣。

　　（本文作者為數學作家，現職中研院博士後研究員。作品常見於聯合報「閱讀數學」、國語日報，以及泛科學﹝Pansci﹞、有物報告、CAREhER等網路媒體。著有散文集《再見，爸爸》，譯有《平面國》，合著《葉丙成的機率驚豔》。）

推薦文

數學與音樂、藝術、設計的最佳交集──黃金比例
林信安  台北市立建國高級中學數學科教師

　　「黃金比例」對許多學生來說不算陌生。只要課堂上提到相關的題材，例如黃金矩形、黃金三角形、正五邊形、五角星形、費氏數列等，學生們還會列舉更多例子，像是鳳梨鱗片的排列、向日葵小花的排列、黃金比例是最美的比例等等。      

　　我發現到，學生普遍對黃金比例感興趣，甚至發出讚嘆之聲，身為數學老師的我總是把握機會，推薦《黃金比例：1.618…世界上最美的數字》這本書，書中介紹了黃金比例與幾何、音樂、藝術、設計等各領域的糾葛與迷思，希望能藉此引領學生欣賞數學與其它領域產生豐富的交互作用。我自己從事數學與科學教育多年，這本書提供了我很多課堂上發人深省的好問題。

　　此外，本書還蒐集了大量的參考資料列舉了豐富的巧合，像是巴特農神殿、美感與黃金比例的關係、畫作中隱藏的黃金比例等。作者李維歐對這些巧合提出質疑，也對黃金比例的神祕感提供出見解與澄清，這是我覺得《黃金比例：1.618…世界上最美的數字》最有啟發性與迷人之處。對於熱愛追求知識的讀者而言，這實在是一本值得細細品味的好書。