神奇的pi (改版)

出版緣起　開創科學新視野∕何飛鵬
導讀推薦　享受π的樂趣∕洪萬生

前言　圓和方　021

圓意味著無限，方則暗示著有限。
圓反映出自然的神祕，
方則是早期文明將土地分割為農地和私有地的利器。

緒論　為什麼要有圓周率？　024

人類對圓周率的探討，正反映出人類追根究柢的天性。
人類不但亟欲探索宇宙的面貌，也想探索人類心智的極限。
就像攀登聖母峰。
為什麼有人會去登聖母峰？
不為什麼，只因為它就在那裡。

第一章　圓周率的歷史　029

計算π的值，這大概是在古代數學的範疇中，
唯一仍能讓現代數學家苦心鑽研的問題。
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早期歷史：公元前二千年至公元前五百年　030
希臘時期：公元前五百年至公元二百年　038
東方的圓周率：公元一百年至七百年 046
一千年的進展：公元六百年至一千六百年　052
數學的突破：公元一千六百年至一千九百年　061
電腦時代：公元一千九百年至今　076
圓周率年表　085

第二章　楚諾維斯基兄弟　093

大衛和葛列格里．楚諾維斯基是圓周率研究史上的兩位奇人，
為了能隨心所欲地探究這超越數和無窮級數，
這兩位聰明的電腦高手在四十多歲時，利用市面上既有的零件，
在公寓裡建造了一部超級電腦。

第三章　符號π　103

π是希臘文的第十六個字母，但古希臘人並沒有以π來代表圓周率。
直到近兩百五十年，π才漸漸被當成代表圓周率的符號。

第四章　圓周率的特性　111

一八八二年，林德曼證明π是超越數。
他能提出這項證明，多要歸功於兩百年來的重大數學成就。
其中的最大功臣就是埃爾米特。

第五章　化圓為方者　117

數學中有少數著名的難題，化圓為方就是其中之一。
所謂化圓為方，就是透過幾何作圖或數字計算，
做出一個和圓等面積的正方形。

第六章　背誦圓周率　141

對大多數人而言，記住一千個數字或符號都很困難了，
更何況是上億個看似隨機出現的數字。
世界各地有許多圓周率的記憶法，
只要利用一些小技巧就能幫助我們背誦它。

後記　神祕的圓周率　164

我們四周充斥著圓周率的身影：
許多與圓無關的數學難題，都要靠圓周率解決；
處理統計學和或然率問題，有時也少不了它；
小至原子結構，大至恆星的運動等自然現象的研究，
都要靠圓周率幫忙！

其他與圓周率有關的資訊　166

導讀推薦
享受π的樂趣
洪萬生

　　一九九八年八月三十日《自由時報》登載了一則中央社發自渥太華的新聞，說圓周率（圓周長除以直徑）3.141592……「永遠除不盡」的神話，已經被加拿大一位年僅十七歲的數學天才柏熙瓦打破了，理由是「他利用二進位算法，發現圓周率的第五兆位個小數就是零。」後來，柏熙瓦發現媒體報導錯誤，即提出澄清說明，而《自由時報》也跟著在同年十一月十一日登載中央社的新聞電文，結束了這一場國內外新聞媒體因為「數學無知」而造成的烏龍事件。

　　圓周率π究竟是怎樣的數目？這對絕大多數的人而言，大概無關緊要。即使將「真正地認識」π當成「數學素養」（mathematical literacy）的指標，看來也不切實際。不過，中小學數學教師如何談論這個新聞事件，倒成了我們十分關心的問題。事實上，由於這個π在日常生活經驗中幾乎無所不在，但它的「性格」又表現得十足神祕，因此，從廣義的教育觀點來說，中小學教師也好，數學教授也好，乃至於科學文化工作者也好，都值得參與有關π的知識活動。

　　然而我們究竟要如何參與呢？或許閱讀相關的科（數）學普及讀物，尤其是那些洋溢著科（數）學人文氣息的著作，不失為一條可行的途徑。事實上，將「數學史」融入數學普及論述，是我年少時所立下的志業。這些年，雖然無暇兼顧這方面的工作，但只要遇到同好者之著作，總是見獵心喜，心嚮往之。前年（一九九七）年底，我前往美國新奧爾良（New Orleans）開會，於舊金山國際機場轉機時購得本書。在仔細閱讀過一些章節之後，發現它的內容不僅豐富多樣、趣味盎然，而且平易近人、老少咸宜，實在是不可多得的一本數學普及讀物。相信作者布拉特納對於圓周率π這個數目，一定有很深刻的認識。

　　譬如說吧，布拉特納就以十分平和的語調，介紹了十九世紀末美國印第安州議會為一位「化圓為方者」背書的故事。所謂「化圓為方」，是指給定一個圓，以幾何作圖（geometric construction）的方法求作一個等面積的正方形。它與「三等分任意角」、「倍立方體」並列為古希臘三大作圖題。到了十九世紀三十年代之後，這三個問題拜近代數學發展之賜，才一一被證明為不可能。也因此「化圓為方者」就專門用來指稱那些昧於現代數學知識背景的「數學狂怪」（mathematical crank）。這樣的人可說是無所不在，即使目前在國內，相信還是有些數學教師會鼓勵學生對任意角做三等分。

　　十九世紀美國這位「化圓為方者」名叫古德文（Edwin J. Goodwin），是一位鄉村醫生。在一八八八年，也就是在「化圓為方」被德國數學家林德曼（Lindemann）證明為不可能的六年後，他宣稱獲得上帝的教誨而解決了「化圓為方」問題。更不可思議的是，顯然由於他的遊說，一八九七年該州下議會議員雷科德（Taylor Record）竟然將它提案為第246號法條。一旦通過，這個法條將允許該州任何人有權利無償地使用古德文的「發現」，至於其他州，那就必須付費了。由於沒有任何一位州議員知道該法案的數學內容是怎麼回事，所以州議會不久就以67比0無異議通過。不過，令人驚奇的是，法案竟然附帶保證說古德文的計算結果是正確的，因為它還得到美國數學學會的官方刊物《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）之認可。該雜誌的確出版了古德文的論文，但該法案並沒有說明雜誌編輯曾指出這是應作者要求。《美國數學月刊》的處理態度或許並不令人意外，因為當時有一位州教育督學就非常熱中極力促成該法案的通過。沒想到投票隔天，當地地方報紙就評論說這是有史以來印第安那州議會所通過的最奇怪法案。幸好普渡大學（Purdue University）數學教授華爾多（C. A. Waldo）立刻拜會州議會就此事提出質疑，而報紙也趁機炒作，逼迫州上議會終於在一八九七年二月十二日投票，做出無限期擱置討論的決議。

　　類似上述這類極具啟發性的故事之論述，可說是本書的特色之一。此外，本書定位既然是數學普及讀物，所以它的「軟性」包裝就大有語不驚人不休的氣概，譬如在它的封底上，我們就可以讀到很多「花邊訊息」——（1）π的前一百萬小數位數包括了99,959個0、99,758個1、100,026個2、100,229個3、100,230個4、100,359個5、99,548個6、99,800個7、99,985個8，以及100,106個9；（2）日本人敬之後藤（Hiroyuki Goto）在一九九五年二月花了九小時背誦了π的位數達42,000位數，創造了歷史紀錄；（3）π的前144個位數加起來等於666，而144恰好等於(6+6)×(6+6)等等。此外，本書的內文也處處嵌入一些令人驚奇的「花絮」——譬如「π的十億個位數若以平常的形式印刷，則它的長度將長達1,200英里」；再如「如果你∕妳運用葛雷果里—萊布尼茲（Gregory-Leibniz）級數來計算π的近似值，結果當你∕妳努力計算了500,000項之後，只會得到30位數。不幸地，它不會全部正確一一事實上，在所得到的3.14159065358979324046264338326中，兩個0及最後的6都錯了。」最後這一則應該算是「數學花絮」，不懂一點微積分是分享不了的，因為其中就涉及無窮級數收斂快慢的問題。

　　上述例子足以顯示，本書作者布拉特納擁有十分豐富的數學與電腦背景知識，也正是如此，本書才能呈現風趣、華麗外表之下的實質內容。事實上，作者的確盡其所能地在趣味性的包裝中，「滲透」了數學的歷史、文化與知識。儘管在敘述π的滄桑史時，作者把一些中國古代數學家的名字拼錯了，但這並無損於他的史識。事實上，在他的「緒論」中，作者就清楚地指出像π的探索這種「知識獵奇」的歷史興味：

　　吾人渴望了解π經常不是與實際多算一些小數位有關，而是想要針對下列問題尋求答案：像π這麼簡單如圓周與直徑的比何以會表現出這麼複雜的情狀。π的追求植根於吾人對心靈與世界這兩者的探險精神上，也基於吾人不斷想試驗人類極限的不可言狀衝動上。這就彷彿登頂聖母峰一樣，吾人攀爬因為它就在那裡。

　　是的，自從π分別被李詹德（Legendre）和林德曼於一七九四年、一八八二年證明是「無理數」、「超越數」之後，不僅古希臘的著名幾何作圖題「化圓為方」確定不可能之外，追求π近似值的更多小數位數也必須賦予新的意義，譬如加拿大這位「數學天才」柏熙瓦就認為這種推算「很好玩」。這種處境在本事愈來愈高強的電子計算機開始介入π值的逼近時，當然更顯得迫切。譬如說吧，一九四九年，計算機ENIAC花了七十小時才計算到808位數。一九五五年，計算機NORC則只花了十三分鐘就計算到2,037位數。四年之後，也就是一九五九年，已經到達1萬多位數了，當年巴黎IBM 704計算到16,167小數位。六○年代開始進入10萬位數。到了七○年代，則已經爬升到100萬位數，電算機時間共花了23.3小時。

　　在八○、九○年代，有關π的逼近，首先由日本嘉晃田村（T. Tamura）和安正金田（Y. Kanada）揭開序幕，一九八三年，他們兩人計算到1,600萬位數。接著，一九八八年安正金田利用Hitachi S-820花了六小時，計算到201,326,000位數。然後是熱鬧的一九八九年，先是楚諾維斯基（Chudnovsky）兄弟找到480百萬位數；安正金田計算了536百萬位數；楚諾維斯基再推進到10億位數。到了一九九五年，安正金田又推到60億位數。隔年，楚諾維斯基兄弟再攀80億位數。最後是一九九七年的紀錄，安正金田和他的新合作者高橋（Takahashi）利用Hitachi SR2201，只花了二十九小時多一點，就創造了π逼近的歷史新高：510億位數。不過，到一九九八年本書問世之後，柏熙瓦則告訴我們：他已經推到第1兆2千5百億位數了。

　　現在，且讓我們好整以暇，輕鬆地翻開本書，進入π的天地，讓它為我們展現無限繁華的風情！

（本文作者為台灣師大數學系教授∕彭婉如文教基金會董事長）