美國排名第一
紐約大學數學科學研究所
創辦人瑞赫德．庫蘭特送給高等數學人才
一本從代數到微積分的系統性數學學習書
1941年出版至今，仍在Amazon.com獲得4.5顆星好評
．作者庫蘭特教授創辦的紐約大學數學研究所（Courant Institute of Mathematical Sciences）今年再度獲得US News選為排名第一位的應用數學類研究所。
．至今仍在亞馬遜網路書店獲得4.5顆星好評
《數學是什麼？》(What is Mathematics?) 是一本為初學者和學者、學生和老師、哲學家，和工程師而寫的數學名著。自1941年出版以來就得到包括愛因斯坦、赫曼．外爾 (Herman Weyl) 等一代科學大師在內的一致推崇。兩位原作者如今都已辭世，不過後繼有人。1996年在著名數學家伊恩．史都華手中把原著中多個相關的數學主題帶到切合當前的發展水平，因而有現在的第二版。通過平易近人，引人入勝的描述，這部閃爍出兩代作者才華的鉅著，把「反映出人類積極的意志，深思熟慮的推理，以及在美學上盡善盡美的祈求」的數學世界，栩栩如生地呈現在我們眼前。《數學是什麼？》文情並茂地給我們報導了一個非凡的故事，為我們對數學的瞭解打開了一扇窗。
作者簡介
瑞赫德．庫蘭特（Richard Courant, 1888 ~ 1972）
出生於德國，哥庭根大學數學研究所創建人，1920年至1933年期間任所長, 他在函數論和變分法方面的發展做出貢獻。在研究所期間與當時最負盛名的德國數學家希爾伯特（David Hilbert, 1862~1943）建立密切的合作關係，兩人合寫了著名的《Methods of Mathematical Physics》一書，將數學分析運用到物理學。1933年納粹興起，他逃往美國，翌年任紐約大學數學教授，並將他在哥庭根大學的經驗在紐約大學複製。在他的領導下建立了美國最有聲望的應用數學研究所之一。1958年他退休時為了紀念他，研究所以他命名（Courant Institute of Mathematical Sciences）。他的另一本名著《Differential and Integral Calculus》也被譽為是現代在微積分方面的最佳著作之一。
賀伯特．羅賓斯（Herbert Robbins, 1915 ~ 2001）
為前美國紐澤西州羅格斯大學（Rutgers University）數學教授，以拓撲學、測度理論、統計學等方面的研究而知名。
伊恩．史都華（Ian Stewart）
是英國英格蘭渥威克大學（University of Warwick）數學教授，在推動大眾對科學的認識方面做出許多貢獻。1995年獲得英國皇家學會頒贈法拉第獎章。他的著作廣泛，其中尤以《Nature’s Numbers》（大自然的數學遊戲，天下出版）、《Does God Play Dice?》（上帝擲骰子嗎？八方出版），以及被他視為可作為本書姊妹篇的《From Here to Infinity》為大家所熟知。他同時為科學雜誌《Scientific American》（科學人）撰寫 Mathematical Recreation 專欄。
譯者簡介
容士毅
1945年生，原籍廣東佛山，退休工程師，現居台北，從事科普出版工作，譯有《羅素的回憶：來自記憶裡的肖像》（左岸）、《愛因斯坦》、《霍金與最終理論的尋求》（牛頓）。
第一章 自然數及其數學理論
第一部分：自然數
§1. 整數之運算
§2. 整數體系之無窮性 數學歸納法
第二部分：自然數之數學理論
§3. 質數
§4. 同餘
§5. 畢達哥拉斯數與費馬最後定理
§6. 歐幾里得演算法
第二章 數之體系
§1. 有理數
§2. 不可通約的線段、無理數、極限之概念
§3. 解析幾何簡述
§4. 無窮大之數學分析
§5. 複數
§6. 代數數與超越數
§7. 集合之代數理論
第三章 幾何作圖 數域代數
第一部分：作圖不可能性之求證及其代數
§1. 幾何作圖之基本原則
§2. 可構造之數與數域
§3. 三個古希臘難題之不可解性
第二部分：各種作圖方法
§4. 幾何變換。反演
§5. 利用其它工具的作圖方法。馬舍羅尼之圓規作圖法
§6. 再論反演及其應用
第四章 射影幾何學 公理體系 非歐幾里得幾何學
§1. 簡介
§2. 基本概念
§3. 交比
§4. 平行性與無窮遠
§5. 應用 §6. 解析幾何之典型表述
§7. 單獨使用直尺的幾何作圖問題
§8. 圓錐曲線與二次曲面
§9. 公理體系與非歐幾里得幾何
§10. 超越三維空間的幾何學
第五章 拓撲學
§1. 多面體之尤拉公式
§2. 圖形的拓撲性質
§3. 拓撲學定理的其它實例
§4. 表面之拓撲學分類
§5. 三個定理之證明
推薦序
無比吸引力的歡樂源泉
有人在精品店血拼時，全身血脈賁張，因慾望得到滿足而快樂。但也有的人歡樂泉源來自別處。
像是數學，數學能夠帶給學生的最大影響，應該是學生在多年數學學習過程的激勵下，所培養出來那種主動迎向問題，細細思索及嘗試，意圖能征服阻礙，到達撥雲見日之欣喜階段的態度。如果我們問別人：「學習數學的樂趣是什麼？」大多數人都會回答：「在一個困難問題經過苦苦思索後豁然開朗，那樣的快樂無與倫比。」
數學所提供的歡樂源泉，不同於大血拼，是具備如下的特質：(1)當我們每日在真實世界探索時，回頭瞧，會發現數學抽象思維和實象之間那種若即若離的微妙關聯，人類生活、自然需求激勵數學研究；(2)在數學領域中，即使其版圖仍在繼續成長，舊的發現卻鮮少變得過時。所以接近數學的人，不須面臨底下的心靈惆悵——拿起筆記本，將從前所學猛然塗改，並對心得進行縫補。
在《數學是什麼？》這本書中，透過作者極具洞察力的思維及眼光，技術性細節與走彎路的舉措被避免了，數學看來更像是非凡的故事，比課堂知識有趣得多。裡面有數學家的冒險歷程，「找到不尋常的發現」是對勇者的犒賞。想想看，如果學生鎮日鑽入考試與補習的痛苦輪迴中，兩相比較起來，對數學的瞭解似不能同日而語。學習在各種程度的學生身上展現，但真正用心挖掘數學深層關聯的人，有機會領略數學之美。
讓我們由書中擷取幾例，先來看繆畢烏斯帶。德國數學家繆畢烏斯（August Ferdinand Mobius，1790~1868）在其一篇關於「單側」表面的學術報告中，提出一些直至今日仍會令初識者大為驚奇的論證。所謂的繆畢烏斯帶，它是把一條細長的長方形帶子的一端扭轉到另一側之後，同另一端貼在一起而形成。第一，常見的雙側表面是由細長形帶子沒有經過扭轉而把它的兩端貼起來形成的，而繆畢烏斯帶只有單側面，一隻沿著帶子而始終維持在帶子中間線爬行的小蟲將會左右倒置地回到它原來的出發點；第二，如果沿著繆畢烏斯帶的中線剪開，會發現它依舊是一條完整的帶子。就如書中作者所言，「對於任何一個不熟悉繆畢烏斯帶的人來說，很難預知這種變化，它與我們在直覺上認為『應該』會出現的事情竟是如此地背道而馳。」我們可以藉由閱讀這本書的第四、五章之幾何篇章，來加強直覺，抓住事物的可構性，或說是「開啟幾何之眼」。
還有，認不認識紐結（knots）？只要是迴圈就可以被扭曲或打結，它們是可以被串連起來──用任何一種方式──包括在一般意義上彼此完全不連接在一起的情況在內。而紐帶是三維空間中一個或多個閉合的迴圈的集合，如果紐帶只有一個迴圈，那麼它就被稱為一個紐結。紐帶理論的核心問題是尋求有效的方法，以判定兩個已知的紐帶或紐結是否在拓撲上有等價關係──就是說，按照連續變形使彼此能夠變成對方。關於這方面的研究，我們一定要提到一個有意思的五組研究。
1984 年紐西蘭數學家鍾斯（Vaughan Jones）正從事關於所謂跡函數（trace functions）在算子代數（operator algebras）方面的分析，意外發現其多項式可為紐結理論做出貢獻。由此作為開端，接著由數學家組成的五個不同的小組各自同時發現，具有兩個變數的鍾斯多項式的普遍形式，在辨別紐結上甚至更有效，通常被稱為荷姆弗利多項式（HOMFLY polynomial）按發明者的姓Hoste-Ocneanu-Millett-Freyd-Lickorish-Yetter的第一個字母拼湊而成。有意思吧！不僅如此，巧手的人對這種自成迴圈的三葉結、「8」字形結、平結等會很有興趣，而這些「手藝品」其實是數學拓撲分支的研究對象，數學家一群一群地不停挖掘出大量解讀資訊。
數學可帶給人驚奇感受。「兩個看來是毫不相干的數學觀念事實上竟然如此緊密連繫」，多奇妙！在「利用對數功能可詮述質數分布的平均變化」這個發現上，已經讓我們對這件事留下深刻印象；但還可以再添一筆——高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855，德國）的「最小平方法」（method of least squares）。從一切有可能出現的測量值中選出一個可作為u的最優值，就是它足以使各個偏差的平方值之和儘可能成為最小，這個作為u的最優值恰好就是算術平均數。上面這個事實可經由最小平方法確認，而較為複雜的問題，例如，假定我們測量出來的各點並非剛好是在一條直線上，我們該如何把一條最適合於這些已被測得的n個點的直線描繪出來？還是最小平方法發揮效用。每當問題注定要從稍為不一致的測量值中，擇定一個貌似有理的結果，「最小平方法」就位居指導原則的地位，當然它也許會被基於相同推理的其它變體來替代。
這樣的關聯也發生在數學與物理兩個學科身上。因為數學觀念與自然界之間是和諧的，所以數學、自然界、物理的鐵三角被建立起來。作者於書中揭示一個觀念：物理現象的實際存在象徵數學問題的解答，在許多為這觀點所付出的努力中，最引人注目的，應該是書中在極限方面進行的「柏拉托（Joseph Plateau，1801~1883，比利時物理學家）肥皂膜實驗」。三面肥皂膜120度相交或四面交角近似109度，應該再再令實驗者流連忘返。好玩、富啟發性的實驗，居於一個永不匱乏的源泉地位，提供數學許多的意義。
現在再來看微積分（calculus），專門談變化率與積累功效這類問題，一個和物理力學無法切割的數學分支。生活中這樣的問題屢見不鮮，當牛頓想要分析運動中的質點，因時間而帶動在速度方面的現象，也就是牛頓口中所稱的「流量」（fluent quantities）時；或是德國外交官萊布尼茲在夜晚空閒時刻，自我苦思不規則邊界下的面積，該如何引進適切的符號標誌時；對這兩個歷史時間點，我們也許能同等感受作者的評論，「數學家之應該對這類問題感興趣，只不過是出於自然。」書中如是說。
面對幾個典型的物理力學問題，我們見識到數學的根本力量——一個抽象的數學公式化表述，它把許多看來似乎相當不一樣而且毫不相干的個別現象的深層結構一舉揭露出來，在書裡的第七、八章有許多精彩的論述。
微積分的魅力不只於此。牛頓（Sir Isaac Newton，1642~1727，英國）和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646~1716，德國）對微積分的長時期演化，扮演了具有決定性的角色。誠如書中作者所言，牛頓與萊布尼茲的巨大功勞乃在於他們清楚確認到下述兩個問題彼此之間的密切聯繫。古老的求取面積與十七世紀時才表述之導數（萊布尼茲稱之為「微商」），是微積分的兩個基本問題，這兩個看來似乎相當分岐的概念之間，存在一個不可分割的相互聯繫性。萊布尼茲和牛頓率先清楚地辨識出此點，繼而開發出精準有效的微積分基本定理（fundamental theorem of the calculus），於是在他們手中，把兩者統一起來的各種新方法遂成為科學上強大的利器。
這本書被評為「一個數學珠璣的大採集」，而它也當之無愧。當故事已栩栩如生地帶到你的眼前，就讓我們泡杯茶，好好開始數學奇妙之旅，盡情享受這一切吧！
北一女中 許秀聰 2009年1月
