線性代數及其應用導論

第0章 預備知識
Ⅰ．與微積分無關的預備知識
0.1 用直線上的點表示實數
0.2 用平面上的點表示實數對
0.3 極坐標
0.4 復數
0.5 復數的定義與代數性質
0.6 復數作為實數的推廣
0.7 虛數單位i
0.8 習題
0.9 幾何解釋‧模與輻角
0.10 共軛復數
0.11 習題
0.12 數學歸納法
0.13 習題
0.14 必要條件和充分條件
Ⅱ．關于微積分的預備知識
0.15 導數概念
0.16 導數的基本性質
0.17 一些初等函數的導數
0.18 速度和加速度
0.19 面積問題與積分學的歷史
0.20 用積分法構造新函數
0.21 積分的基本性質
0.22 指數函數
0.23 復指數
0.24 復數的極坐標形式
0.25 冪級數和函數級數
0.26 習題
第1章 向量代數
1.1 歷史背景
1.2 實n元組組成的向量空間
1.3 n≦3時n維向量的幾何描述
1.4 習題
1.5 點積
1.6 向量的模和函數
1.7 向量的正交
1.8 習題
1.9 投影‧n維空間中向量的夾角
1.10 單位坐標向量
1.11 習題
1.12 有限向量組的線性生成集
1.13 線性無關
1.14 基
1.15 習題
1.16 復數的n元組構成的向量空間Cn
1.17 習題
第2章 向量代數在解析幾何中的應用
2.1 引言
2.2 n維空間中的直線
2.3 Rn中直線的一些簡單性質
2.4 n維空間中的直線和向量值函數
2.5 三維空間和二維空間中的直線
2.6 習題
2.7 n維歐氏空間中的平面
2.8 平面和向量值函數
2.9 習題
2.10 R3中兩向量的叉積
2.11 用先烈式表示叉積
2.12 習題
2.13 純量三重積
2.14 解三元線性方程組的Cramer法則
2.15 習題
2.16 R3中平面的法向量
2.17 R3中平面的線性笛卡兒方程
2.18 習題
2.19 二次曲線
2.20 二次曲線的離心率
2.21 二次曲線的極坐標方程
2.22 習題
2.23 一般二次曲線的笛卡兒方程
2.24 關于原點對稱的二次曲線
2.25 橢圓和雙曲線在標準位置時的笛卡兒方程
2.26 拋物線的笛卡兒方程
2.27 習題
2.28 關于二次曲線的綜合性習題
第3章 線性空間
3.1 引言
3.2 線性空間的公理化定義
3.3 線性空間的實例
3.4 公理的簡單推論
3.5 習題
3.6 線性空間的子空間
3.7 線性空間的線性相關組和線性無關組
3.8 基與維數
3.9 分量
3.10 習題
3.11 內積‧歐氏空間‧範數
3.12 歐氏空間中的正交性習題
3.13 習題
3.14 正交組的構造‧Gram-Schmidt方法
3.15 正交補‧投影
3.16 用有限維子空間中的元素給出歐氏空間中元素的最優逼近
第4章 線性變換‧矩陣
4.1 線性變換
4.2 零化空間‧值域
4.3 零化度‧秩
4.4 習題
4.5 線性變換的代數運算
4.6 逆
4.7 一一線性變換
4.8 習題
4.9 基元素的象為指定值的線性變換
4.10 線性變換的矩陣表示
4.11 對角形矩陣表示的構造
4.12 習題
4.13 矩陣組成的線性空間
4.14 線性變換與矩陣之間的同構
4.15 矩陣的乘法
4.16 習題
4.17 在線性方程組中的應用
4.18 計算技術‧Gauss-Jordan消元法
4.19 方陣的逆
4.20 習題
4.21 關于矩陣的綜合性習題
第5章 行列式
第6章 特征值與特征向量
第7章 歐氏空間中線性變換的特征值
第8章 在線性微分方程中的應用
第9章 在微分方程組理論中的應用
第10章 逐次逼近法
習題解答
索引

本書是美國數學家Tom M．Apostol編著的著名教材，是Apostol教授在其兩卷本教材Calculus，Second Edition中線性代數部分的基礎上整理補充和更新後單獨組成的．

本書對線性代數的基本概念、基礎理論、重要方法和技巧進行了比較深入系統的介紹．特別是，書中用了三章的篇幅論述線性代數在微分方程理論中的應用．

為了便于學生學習，在正文之前對本書用到的一些預備知識做了簡要的介紹．

本書由沈灝和沈佳辰翻譯，其中沈佳辰翻譯本書前五章，沈灝翻譯其余各章，

最後，對本書術語的翻譯作一點說明，即在一般的線性代數教材中，通常也稱抽象線性空間的元素為“向量（vector）”，這樣比較有利于為抽象空間建立直觀的幾何類比．但在本書中還是遵照英文原著的意思，稱抽象線性空間中的元素為“元素（element）”，不足之處，敬請讀者批評指證．