實分析與泛函分析

序言
第1章 點集的基本知識
1 有關集的基本概念和基本運算
2 可數集及其性質
3 半序集與Zorn引理
附錄 Cantor樹和│P（N）│＝2ω＝c的證明
習題
第2章 度量空間
1 度量空間的基本概念
2 度量空間的完備性
3 度量空間之間的映射
4 度量空間中的緊性
5 可分性及連續函數的多項式逼近
6 Weierstrass逼近定理的推廣
7 拓撲空間大意
附錄 處處連續但處處不可導的函數的存在性
習題
第3章 測度和測度的擴張
1 直線上開集的構造，Cantor集
2 由半開區間生成的環R及R上的測度
3 外測度及環R上測度的擴張
4 廣義測度與復測度
習題
第4章 可測函數
1 可測函數的定義及基本性質
2 可測函數序列的收斂性
3 直線上可測函數的構造
4 可測變換與回歸定理
習題
第5章 Lebesgue積分
1 Lebesgue積分的概念和基本性質
2 極限定理，積分的性質（續）
3 乘積測度和重積分
4 無限多個測度空間的乘積測度
習題
第6章 Lp空間
l 凸函數與Holder不等式
2 Lp空間
習題
第7章 Hilbert空間理論初步
1 內積的定義及其性質
2 正交性和投影定理
3 規范正交系，Fourier展開
4 Radon-Nikodym定理和Lebesgue分解定理
附錄 三角函數系的完備性
習題
第8章 Banach空間的幾個基本定理
1 Hahn-Banach延拓定理
2 有界線性泛函族或有界線性算子族的共鳴定理
3 開映射定理、逆算子定理和閉圖像定理
習題
第9章 共軛空間，共軛算子，弱收斂
1 共軛空間的若干性質
2 共軛算子與自共軛算子
3 弱收斂和*弱收斂
4 Lp（μ）上有界線性泛函的表示定理
習題
第10章 緊算子理論簡介
1 緊算子的基本性質
2 緊算子的譜、特征值和特征向量
習題
第11章 Hilbert空間上有界線性算子的譜分解
1 有界線性算子的譜
2 譜測度和譜積分
3 自共軛算子，u算子和正規算子的譜分解
習題
第12章 遍歷定理與保測變換的遍歷性
1 由保測變換導出的算子
2 平均遍歷定理
3 點態遍歷定理
4 保測變換的遍歷性
習題
第13章 局部緊空間上有界線性泛函的
1 局部緊空間上的連續函數
2 Cc（X）上正線性泛函的Riesz表示定理
3 C0（X）上有界線性泛函的Riesz表示定理
習題
參考書目
索引

本書根據作者多年來給研究生講授實分析與泛函分析課程的教學心得整理而成．從作者所在高校獲得基礎數學與應用數學碩士學位授權點開始，就把實分析與泛函分析作為學位課程列入了兩個專業的培養計划，課程設置從未間斷過，但是課程的學時數，采用的教學用書等卻經歷了一些變化，先後使用過w．Rudin的《實分析和復分析》一書的實分析部分，復旦大學編的《實變函數與泛函分析》一書中的泛函分析部分，吉田耕寫作的《泛函分析》，南京大學鄭維行、王聲望編著的《實變函數與泛函分析》等．課時數有時候分成兩個學期各72學時，有一段時期曾改為一個學期，80～90學時．學時數的差異固然很大，而學生入學時的情況差異也很大，所以在教學內容的取舍上很難找到一本合適的書能恰好滿足教學的需要．幾年前作者根據自身的教學需要編寫了一本課時數約為80～90的講義．現在這本書就是在原有講義的基礎上加以擴充而成的．

我們的編寫原則是基於以下兩點：一是生源的實際情況．他們來自不同的院校，不同的專業，有的在大學本科階段系統學過實分析與泛函分析課程，有的只學過少量的實變函數，個別的兩門都沒有學過．二是作為碩士生應當掌握的實分析與泛函分析基本知識和應當受到的數學邏輯嚴謹性的訓練．本書的內容取舍以及論述方式應當在這兩者之間權衡．因此在編寫這本書時作了如下的考慮：

1．基礎性和自容性。教材從集的基本知識和度量空間開始，直接餃接本科階段的數學分析，不要求預先掌握任何實變函數、泛函分析及拓撲學方面的知識．

2．基本內容部分講述務求詳細，並交代清楚思路，論證上盡量做到刪繁就簡(比如直線上的Lebesgue測度就不講由內、外測度構成的方式，而直接引出由半開區間生成的環上的測度，再用Caratheodory擴張的方式)．

3．除基本內容外，我們還安排了一些非基本的內容(書中打上*號的章節)．第2章安排了處處不可導的連續函數存在性的證明，Korovkin定理的證明及Weierstrass定理的推廣等；第3章安排了廣義測度與復測度；第4章安排了可測變換與回歸定理；第5章安排了無限多個測度空問的乘積測度；第7章安排了三角函數系的完備性、Radon-Nikodytn定理、Lebesgue分解定理以及關於復測度的積分；第9章安排了L空間的有界線性泛函表示定理的證明．另外我們還補充了4章內容，即第第10章緊算子理論簡介．11章Hilbert空間上有界線性算子的譜分解，第12章遍歷定理與保測變換的遍歷性，第13章C。(X)上有界線性泛函的Riesz表示定理．這些內容有的比較艱深，有的或多或少游離課程的主線，但是它們在擴大視野，啟迪思維，增進興趣等方面還是有積極意義的．如果課時允許，可以從中選取某些部分講授。

最後，我們要感謝廣西大學數學與信息科學學院對本書出版所給予的支持，同時，也借此機會衷心感謝本學院同仁多年來對我們的支持與幫助。