蒯因著作集：第一卷

威拉德·范·奧曼·蒯因自傳
數理邏輯
導言
第一章 句子
§1 合取、析取和否定
§2 條件句
§3 多重復合
§4 使用和談論
§5 談論句子的句子
§6 准引語
§7 括號與黑點
§8 歸約為三個初始聯結詞
§9 歸約為一個初始聯結詞
§10 重言式
§11 某些重言的形式
第二章 量化
§12 量詞
§13 公式
§14 約束、自由、閉包
§15 量化的公理
§16 定理
§17 元定理
§18 等值代換
§19 存在量詞
§20 量詞的分配
§21 字母變體
第三章 項
§22 類和分子
§23 邏輯公式
§24 抽離
§25 等同
§26 再論抽離
§27 摹狀詞和名字
第四章 關於類的進一步理論
§28 層次
§29 更進一步的從屬關系公理
§30 等同可代入性
§31 變元的代入
§32 進一步的結果
§33 邏輯積、和、補
§34 包含
§35 單類
第五章 關系
§36 對和關系
§37 關系的抽離
§38 逆、象、關系積
§39 祖先
§40 函數
§41 函數的抽離
§42 作為關系的等同和從屬
第六章 數
§43 零、一、後繼
§44 自然數
§45 可數集合
§46 有窮的和無窮的
§47 關系的冪
§48 算術和、積、冪
§49 普通算術恆等式
§50 比值
§51 實數
§52 進一步的擴充
第七章 句法
§53 形式性
§54 句法的初始狀態
§55 原句法
§56 定義公式和句式
§57 定義量化公理
§58 定義定理
§59 原句法自適用
§60 不完全性
附錄
§定理與元定理
§定義表
§定理和元定理表
參考文獻
人名索引
主題詞索引

在數理邏輯嚴格地加以闡述的內容中，有一個重要部分已經作為日常語言的基本成分而含糊地存在著。所以，從非數學、非哲學的常識過渡到數理邏輯最初的專門術語，這只是很快就被跨越了的一步。而且，一旦進入數理邏輯的領域，人們不用探索到最深的層次就會觸及新的、有待發掘的領地；這個領域本身就是有待發掘的，研究者在其中很多方面都非常活躍。即便在導論性的闡述中也不乏新鮮有趣的問題，而這些問題，專家也並非完全沒有興趣。因此就像在為數不多的其他幾個領域里，在同一張「數理邏輯」的封面之下，教材與論文結合在一起。這也是我對這本書的定位。

本書的內容主要出自我在哈佛大學的「數學19」這一課程。我是在讀者既不需要預先具備熟悉的數理邏輯知識也不需要任何數學或哲學的特殊訓練這一前提下給出本書的，但是這本書是打算奉獻給嚴肅、認真的讀者們的；其中有若干節內容要求仔細地研究。總體上來說，並沒有故意為保持清晰易懂而削弱嚴格性。

第一章處理句子（statement）的真值函數復合；把否定詞加在句子上，以及使用「並且」、「或者」、「如果┅┅那麽┅┅」這樣的聯結詞來生成復合句。依照舍弗的方法，這些詞被歸約至聯合否定這個單獨的聯結詞，即「既不┅┅也不┅┅」。特別強調了使用表達式與談論表達式之間的區別，並根據這一區別考察了關於蘊涵問題的爭議。為了方便地談論句子及其他表達式，引入了元數學的或語形的記號；並使用這些術語而不是求助於早期作品中所謂的命題變元「p」、「q」┅┅來詳細闡明了句子復合的原則。對重言式的性質～—僅依賴真值函數復合的那種邏輯真——以元數學的術語作了新的闡述，並給出了一系列重言式。在重言式的層次上，贊成用表格計算的方法，而省卻了推演的方法。

第二章處理量化：對涉及「所有的」和「有的」的習慣用語作形式化處理。與量化相關，變元第一次出現了，因而需要投入一點精力揭示變元的性質，展示它與普通語言中的代詞的相似性。就像邏輯的前面部分，量化理論也是借助於元數學里的工具加以解釋的；確實，由於涉及所謂變元的約束出現和自由出現的微妙區別，借助於任何其他工具來描述量化理論看起來都是有害的。就如第一章里的情況，在這一部分也認為計算的方法比推演的方法更可取；但由於任何一種計算的方法都不足以刻畫量化理論的真，所以不得不達成一個妥協：即用計算的方法指明一個所謂量化公理的無窮集，然後用最簡單的規則：分離規則，從該公理集得出定理。另一個不同（它的好處是比一般的方法更為直觀）在於：所指明的量化公理必須保證定理只包括嚴格意義上的句子——即不包含「自由」變元的公式，在量化中沒有使用其他的變元。

在第三章里出現了屬於「 」這個聯結詞，還有類。該聯結詞作為對量化和聯合否定的補充，足以據此來定義邏輯的概念以及算術和派生學科的概念，這一系列定義中根本性的一步是引入了抽離——借助於這個記號就能通過其對象的情況來明確一個類。引入抽離這個概念時使用了聯系上下文的定義。在抽離的基礎上又引入了摹狀詞的方法，摹狀詞對應著習慣用法「┅┅樣的實體」。一般而言現在可以把名稱（抽象的和具體的都一樣）理解為可以從所有語言中隨意消去的單純縮寫。除了簡約性，這種做法還有助於把語形的意味問題和事實的存在問題分開來。

在第四章中對量化公理又補充了無窮多條新公理，從而給定了屬於關系及導出概念的根本性質；但是除了原來的分離規則，並不需要其他推理規則。定義了等同性和單元素類以及普通的類代數的概念；並給出了一系列定理。

通過采用一種不像以往諸如類型論一類的方法那麽嚴格的方法而避免了邏輯悖論（例如羅素悖論）。這種方法，跟馮·諾伊曼的方法一樣，承認某些實體不能夠屬於他類；但是這樣理解的實體遠比馮·諾伊曼理論下的實體更為少見。除了使算法靈巧以外，這樣放寬的結果是不需要特別的假設就可論證無窮類的存在。

第五章中，采用維納一庫拉托夫斯基（Wiener-Kuratowski）的方法，在類理論的基礎上定義了關系，並引入和考察了關系理論的一般概念。接著在關系理論的基礎上定義了函數。類似於類理論中所用抽離法的方法又重新出現於關系和函數方面。自然數的定義出現在第六章。此後的一個定義介紹了把一個關系看成一個數的冪的運算，這種運算能為定義算術里的各種運算提供一種簡單而一致的手段。證明了算術中某些基本定理，並簡單介紹了從這一層次的理論到更高層次的定量數學的標准建構。

在第七章，我們轉向了關於（像前面章節給出的）一個形式主義的論述所包含的元數學或語形學的構造的形式化。推導了哥德爾關於邏輯和算術的不完全性的定理，並在某種程度上擴展了其范圍。

麻省康橋
1940年4月7日