前言
數學不像其他的科學，有自己的模式與微妙之處。數學並不依附在物質世界中，不依鉛的重量、天空的蔚藍或火藥的可燃性而定。數學的進展往往出自純粹的洞察力與邏輯，而且一直到不久前，數學家幾乎只需要紙筆就能編織出奇蹟。
實驗已經顯示許多動物，如烏鴉、老鼠、黑猩猩等等，可以數算到非常大的數目。因此似乎可以合理假定，早期人類即使不用手指頭，也擁有類似的計數本能。
畢達哥拉斯（Pythagoras）是最早的數學先驅之一，他在公元前571年出生於希臘的薩摩斯島（Samos），最後在義大利南部的克羅托內（Crotona）創辦了一個古怪的數學學派，他的門徒不許吃豆子、碰白羽毛，或在陽光下「撒尿」。他並沒有發明那個關於斜邊上正方形面積的著名定理（x2 + y2 =
z2），而是給出了證明。事實上，他引進了證明（proof）的概念，這是數學的基本宗旨之一。在數學上，證明就是一切，而科學不能證明一件事情的正確性；科學家可以駁倒某些想法，但永遠無法證明這些想法絕對正確。
證明是費馬最後定理的關鍵特徵。皮耶・費馬（Pierre de Fermat）是一位法國律師，他讀到一段討論畢氏定理的文字時，在旁邊批註說，xn + yn =
zn這個方程式在n大於2時沒有整數解。他寫道：「我已經找到一個很漂亮的證明，可是這裡的空白處寫不下。」在他1665年去世的時候，有人發現了這則眉批，接下來330年間，許多傑出數學家想盡辦法找出他的證明，但沒有找到。後來在1995年，安德魯・懷爾斯（Andrew
Wiles）終於解開難題——只不過，懷爾斯的證明篇幅長達150頁，所用到的數學方法在費馬的時代還無人知曉。所以，我們可能永遠不會知道費馬是否說對了。
數學往往適合當作謎題，在1202年的一本書《計算之書》（Liber Abaci）中，比薩的雷奧納多（Leonardo of
Pisa，人稱費波納契［Fibonacci］）就用了一道謎題，引進一個非常有趣的數列。他請讀者想像一對小兔子，牠們一個月後就發育為成兔，然後會生出一對小兔子，這對小兔子也會在一個月後長為成兔然後繁殖下一代。現在要問：「在每個月的月底，會有多少對兔子？」結果發現答案是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
...。由於它是把前兩個相鄰的數相加得出下一項，所以這個數列可以永無止境繼續下去。費波納契數列裡的數字，在自然界到處可見。花瓣的數目經常是3、5或8瓣；松果上的鱗片通常排列成8條呈順時針旋轉的螺線和13條呈逆時針的螺線。費波納契非常聰明，阿拉伯數字系統也是他得知後，引進到西方世界的。
如果沒有這些，後來的數學先鋒絕對不會得到他們的發現。若沒有費波納契，牛頓（Newton）與萊布尼茲（Leibniz）就不會想出微積分。若微積分從未發明出來，歐拉（Euler）、高斯（Gauss）、拉格朗日（Lagrange）、巴斯卡（Pascal）的許多想法就不會出現，而他們的想法又對伽羅瓦（Galois）、龐加萊（Poincaré）、圖靈（Turing）、米爾札哈尼（Mirzakhani）等人的研究工作至關重要。此外，當然也就不會有費馬最後定理的證明。
就像費波納契的兔子與費波納契數列一樣，所有這些數學發現都建立在先前的基礎上，變得愈來愈壯大，未來還會繼續壯大下去。
