圖解數學

前言

第1章 西元前
1-1　認識各古文明的數字（一）：埃及
1-2　認識各古文明的數字（二）：巴比倫與馬雅
1-3　認識各古文明的數字（三）：中國
1-4　符號念法與用途（一）
1-5　符號念法與用途（二）
1-6　黃金比例
1-7　永遠跑不完的一百公尺
1-8　圓錐曲線（一）：拋物線I
1-9　三角函數（一）：三角函數的由來
1-10　三角函數（二）：河流有多寬
1-11　三角函數（三）：山有多高
1-12　三角函數（四）：地球多大、月亮多遠
1-13　三角函數（五）：日蝕、月蝕
1-14　三角函數（六）：地平線多遠
1-15　三角函數（七）：山有多遠
1-16　畢達哥拉斯（一）：畢氏定理與根號
1-17　畢達哥拉斯（二）：音階的由來
1-18　阿基米德（一）：第一個重要的無理數-圓周率π
1-19　阿基米德（二）：圓椎、球、圓柱的特殊關係
1-20　阿基米德（三）：密度的前身-排水法
1-21　阿基米德（四）：密度

第2章 中世紀
2-1　認識各古文明的數字（四）：印度、阿拉伯、羅馬　
2-2　中世紀的數學：阿拉伯、印度　
2-3　為什麼負負得正呢？　
2-4　指數（一）：神奇的河內塔.棋盤放米　

第3章 文藝復興時期
3-1　小數點、千記號的由來　
3-2　數學運算符號的由來　
3-3　椎體是柱體體積的3分之1倍　
3-4　納皮爾的對數　
3-5　笛卡兒的平面座標　
3-5　笛卡兒的平面座標　
3-6　太極圖是極座標作圖　
3-7　認識地圖-非洲比你想像的大很多　
3-8　數學與藝術（一）：投影幾何　

第4章 啟蒙時期
4-1　曲線下與x軸之間的面積－積分　
4-2　曲線上該點斜率－微分　
4-3　為什麼稱微積分　
4-4　第二個重要的無理數：尤拉數e   　
4-5　圓錐曲線（二）：拋物線II　
4-6　圓椎曲線（三）：橢圓I　
4-7　圓椎曲線（四）：橢圓II　
4-8　圓椎曲線（五）：雙曲線　
4-9　圓椎曲線（六）：圓錐曲線怎麼繪畫　
4-10　特殊的曲線（一）：懸鍊線　
4-11　特殊的曲線（二）：等時降線與最速降線　
4-12　為什麼角度要改成弧度（一）：弧度的起源　
4-13　為什麼角度要改成弧度（二）：為什麼 180度=π　
4-14　神奇的帕斯卡三角形　
4-15　數學與音樂（一）　

前言

　　大多數人認為數學等於困難，並且會問為什麼學數學？數學有用，有用在哪裡？生活中充斥著數學，但又在哪裡？我們必須知道數學是科技進步的重要一環，但數學更是人類文明重要一環。而我們要如何學好數學？從人類學習的模式來看，以藝術領域中最抽象的音樂為例，我們到底是先學會唱歌(或聽音樂)，還是先學會看，寫五線譜？無庸置疑，當然是先會唱歌或聽音樂。以及我們在其他科目都是先學該科目的藝術面，再學習學術面，如國文課先賞析再解釋、歷史先聽故事再研究。但是我們的數學教育卻是順序顛倒：要學生花最多時間學會看，寫五線譜(列式子，背公式，解考題)，卻很少給學生唱歌或聽音樂的時間(看到數學，看到活生生的應用)。因此我們的方法是 "先學唱歌，再學樂理"，先看圖再看數學式，先看歷史、人文、藝術、應用，再來討論數學。進而減少背一大堆公式的必要及大量的機械式練習，重建對數學學習的信心和興趣。此方法已在教學實踐中證明是有效的。

　　本書是敘述數學之美的書，而不是敘說數學多有用的書。數學是一門最被人們誤解的學科，它常被誤認為是自然科學的一支。事實上，數學固然是所有科學的語言，但是數學的本質和內涵比較接近藝術(尤其是音樂)，反而與自然科學的本質相去較遠。本書從人類文明發展的脈絡來說明數學的本質：它像藝術一樣，是人類文化中深具想像力及美感的一部份。並且是學習民主的不二法門，培養邏輯唯一的道路。並且可以了解後，可以發現數學史就是人類發展史，數學發展到哪，世界就進步到哪。

　　為何會對數學誤解？其原因大致如下，我們的制式數學教育只注重快速解題，熟記題型以應付考試的需求，造成學生及家長對數學的刻版印象就是：一大堆作不完的測驗卷及背一大堆公式。在這種環境下，如何能期待多數的學生對數學有學習的動機和興趣？其結果是，用功的學生努力背題型，背公式以得到好成績，考上名校。就業後，除了理工科系外，其他人發現生活上只要會加減乘除就夠用了，以往多年痛苦的學習顯然只是為了考試，數學不但無趣也無用。至於沒那麼用功的學生早在國中階段就放棄數學了。因為就投資報酬率而言，數學要花太多時間，且考試成績未必和時間成正比，將這些時間用在別的學科比較有效益。

　　更糟的是，我們的社會謬誤將數學好不好和聰不聰明劃上等號。固然，數學很好的學生顯示他對抽象概念掌握能力不錯，僅此而己，不多也不少。至於數學不好的學生也只顯示他的抽象概念掌握能力有待加強，與聰明度無關。請問，我們會認定一個五音不全(音感不佳) 的人就是不聰明嗎？

　　此外，我們的教材有很大的改進空間。譬如說，專為考試設計的"假"應用題，然而最糟糕的是：為了在短時間內塞進太多內容，教材被簡化成一系列的解題技巧和公式。

　　事實上，數學絕對不是一系列的技巧，這些技巧不過是一小部份，它們遠不能代表數學，就好比調配顏色的技巧不能當作繪畫一樣。換言之，技巧就是將數學這門學問的激情，推理，美和深刻內涵抽離之後的產物。從人類文明的發展來看，數學如果脫離了其豐富的文化內涵，就會被簡化成一糸列的技巧，它的真實面貌就被完全扭曲了。其結果是：對於數學這樣一門基礎性的，富有生命力，想像力和美感的學科，大多數人的認知是數學既枯燥無味，又難學又難懂。在這種惡劣的學習環境及社會謬誤的影響下，學生及父母親或多或少都會產生數學焦慮症( Mathematics Anxiety)。這些症狀如：

　　(1) 考前準備這麼多，為何仍考不好？是不是題目作得不夠多？

　　(2) 數學成績不好，是否顯示我不夠聰明，以後如何能出人頭地？

　　(3) 除了交給補習班及名師之外，有沒有其它方法可以學好數學，不再怕數學， 甚至喜歡數學？

　　數學焦慮症不是一天造成的，因此它的"治療"也要循序漸進。首要是去除對數學的誤解和恐懼，再服用"解藥"(新且有效的學習方法、教材)。本書說明數學影響及於哲學思想和推理方法，塑造了眾多流派的繪畫和音樂，為政治學說和經濟理論提供了理性的依據。作為人類理性精神的化身，數學己經滲透到以前由權威，習慣，迷信所统冶的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。然而，更重要的是，數學在令人賞心悅目和美感價值方面，足以和任何藝術形式媲美。因此，我深信應該將數學的"非技巧"部份按歷史發展的脈絡納入教材，使學生感受到這門學科之美，從而啟發學習的動機。使得學生能大幅降低對數學的恐懼，增加信心，進而體會數學之美。同時，也因為更有自信，就能更有效率地學習"技巧"部分，大幅減少機械式的技巧練習，面對考試可以少背公式仍能得高分，澈底消除學生和家長的"數學焦慮症"。