丘成桐談空間的內在形狀

推薦文　心腦交會的時空行者∕曾志朗
看到萬事萬物之間的深層關聯∕劉炯朗
跟著丘教授了解幾何，了解宇宙∕楊祖佑
透過人文情懷與素養，展現美妙的數學世界∕金耀基
一段精彩的科學探索之旅∕戴自海
宇宙．拓樸．十維琴∕黃　鍔
要了解自然，不能不用上幾何∕高涌泉
譯後序　對曲撫弦好時光∕翁秉仁

中文版序　希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神
英文版序　數學，是一場波瀾壯闊的冒險！

序曲　從柏拉圖到宇宙未來的形貌
在偉大的前科學時代，柏拉圖就指出，我們所見的世界，只是這個不可見幾何形體的反映罷了。這個觀念深得我心，也和我最知名的數學證明緊密相關。

第1章　想像邊緣的宇宙
對數學家而言，維度指的是一種「自由度」，也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。但維度是不是就只有那麼多？

第2章　自然秩序中的幾何
因為你瞧，這整齣宇宙大戲──粒子、原子、星辰和其他物質的複雜舞台，不斷地游移、運動與交互作用──都是在同一座舞台上演出，或可說，在一個「空間」之內上演。如果不能掌握空間的詳細特徵，便不能真正理解這齣戲。

第3章　打造數學新利器
幾何學發展至今，儘管有著豐富的歷史和輝煌的成就，但我們切莫忘記，幾何學仍是一個不斷演變、日新又新的領域，它的進展腳步未曾稍歇。最近幾何學的一項重大演變，是「幾何分析」。

第4章　美到難以置信：卡拉比猜想
卡拉比猜想對於幾何分析以及對於我個人影響都極為深遠。卡拉比所問的問題其實密切聯繫到愛因斯坦的廣義相對論：假如我們的宇宙全無任何物質，它還會有重力嗎？如果卡拉比是對的，曲率可以讓空無一物的空間仍然有重力。

第5章　證明卡拉比（是對？是錯？）
每當我以為終於把證明搞定時，論證總會在最後一刻崩潰，一次又一次重演，令人益發沮喪。兩週的煎熬下來，我判斷必定是我的推理出了差錯。唯一的辦法是更弦易轍，改從反方向進攻。

第6章　弦論的DNA
弦論必須是十維的理由十分複雜，主要的想法大致如下：維度愈大，弦可以震動的方式就愈多。但為了製造出宇宙中的所有可能性，弦論不只需要大數目的可能震動模式，而且這個數目還必須是特定的數，結果這個數只有十維時空才辦得到。

第7章　穿越魔鏡
事後證明，這是鏡對稱的重要時刻。許多本來認為鏡對稱是垃圾的數學家，開始意識到終究還是能從物理學家那裡學點東西。數學家莫理森就是很好的例子，他在柏克萊會議時是最直言不諱的批評者，但後來想法完全改變，不久之後就完成許多鏡對稱、弦論、卡拉比-丘流形拓樸轉換等的重大貢獻。

第8章　時空中的扭纏
用兩種截然不同的方式計算熵，竟然得到相符的結果，這固然值得高興，但是從另一方角度來說，卻也很令人驚訝。布朗大學物理學家西蒙斯說：「沒想到回答這個問題的關鍵步驟，是去計數卡拉比-丘空間中的數學物件。」

第9章　回歸現實世界
物理學的標準模型是有史以來最成功的理論之一，其中描述了各種物質粒子，以及在這些粒子間來來去去的介子。不過就描述大自然的理論來看，它在某些方面還是有所欠缺。首先，標準模型擁有大概二十個無法由理論決定的待定參數，像是電子和夸克的質量。弦論學者則希望能夠提供這樣的數學解釋，而且除了弦的張力之外，剩下唯一待定的參數就只有空間的幾何。

第10章　超越卡拉比丘
儘管我偏愛卡拉比-丘流形，且此情在過去三十餘年有增無減。但是對於這個課題，我仍然會保持開放的心態。如果最終對弦論來說，非凱勒流形的價值大於卡拉比-丘流形，我也能欣然接受。

第11章　宇宙解體（想知道又不敢問的世界末日問題）
雖然沒有人真的知道最終會發生什麼事，不過一般同意，目前宇宙的狀態無法永存，某種真空衰變終究會出現。縱然六維空間的終結可能關係到宇宙的終結，但是這方面的研究勢必得踏進未知之地！

第12章　尋找隱藏維度的空間
但是，要從哪裡開始呢？是透過望遠鏡觀測？還是讓粒子以相對論速度互相撞擊，再從殘渣碎屑中篩檢出線索？這些是目前炙手可熱的研究，所謂的弦論現象學已經成為理論物理學中蓬勃發展的領域。

第13章　數學．真．美
確實，人們一次又一次的發現，數學概念如果滿足簡潔、優美的標準，通常最後也能夠應用於大自然。為什麼會如此，依舊是一個謎。其中的神祕之處在於，為什麼與自然世界沒有明顯關連的純數學結構，能夠這麼精確的描述這個世界。

第14章　幾何的終結？
現在的幾何學也正迫近這個非常類似的情境。古典黎曼幾何已經無法描述量子層次的物理學，因此需要尋求一種新幾何學，一種同時適用於魔術方塊和普朗克長度弦的推廣理論。問題是如何實踐這個想法，就某種程度而言，我們是在黑暗中摸索。

後記　每天吃個甜甜圈，想想卡拉比-丘流形
最近，韋頓曾經與史聰閔格在普林斯頓見面。當時他沉思之後說：「在二十多年前，誰會想到在卡拉比-丘流形上研究弦論會這麼有趣。我們挖掘得愈深，就學得愈多，因為卡拉比-丘流形是非常豐富又核心的構造。」

終曲　進入聖堂，必備幾何
根據傳說，柏拉圖在學院入口的大門上，銘刻著下面這句話：不識幾何者，不能入此學園。如果要在我哈佛研究室門口，也掛上一塊標誌的話，我會將文字修改成「不識幾何者，不能出此門。」

龐卡萊之夢
附錄1　了解三個重要概念：空間、維度、曲率
附錄2　名詞解釋
附錄3　原文注釋

推薦序1

心腦交會的時空行者

　　我真希望在三十年前，當我全力發展人類大腦如何處理時間訊息的理論模式時，就讀到《丘成桐談空間的內在形狀》這一本章章使我感動、時時讓我頓悟和會心的「數學」啟示錄。我會這麼說，是我們這些在早期聯考制度下的乙組（當年的人文、社會科系）生，進了大學後就和數學絕緣了。每每聽到別的科學家談物理和數學如何相輔相成，總是很羨慕；看到一串串豆芽的公式，更是自卑得不得了，但心中有時候會反過來想，就自暴自棄的說：這些「數」與我何干？遇有複雜的數學公式，就先跳過去，因為文字的敘述也能讓我捕風捉影猜出現象背後的涵義，然而腦海裡仍不免有些揮不去的陰影：我跳過的那些數學公式，其中隱藏的真義是否也被我忽略掉了？ 

　　直到有一天，我在課堂上很認真的向一群大學生解釋何謂視神經細胞的「側向抑制效應」（lateral inhibition effect）。我畫了一條視神經細胞反應線條（如右圖），箭頭處是刺激光點照到的桌邊地點；左邊桌面有光，右邊是空的，因此「側面抑制效應」形成了邊緣線特別亮的效果。我很仔細的說明，為何我們看到桌面邊界時會感到特別亮、特別清楚的現象。有一位學生忽然告訴我，那條線代表的是一次微分的曲線！我當場愣了一下，我講了半天的現象，一次微分的描繪，更簡潔明白，不拖泥帶水，不囉嗦，真是一目了然。這才是科學的美麗境界！ 

　　我教書多年，有了這樣的體會，就開始努力自修數學，也去旁聽學校名師的微積分和線性代數課，更勤讀數學史的科普書，真是受用無窮，對自己研究「概念形成」（concept formation）的歷程，確實是助益良多。尤其我們最近研究嬰兒如何從外界混沌雜亂的大人語音中抽取精華，形成語言知覺和發音的基本要素，發現嬰兒的學習其實是掌握統計的許多基本原則，才能在那麼短的時間內，習得那麼複雜的分類，且每一個類別上的具體表音，都是機率的組合。科學家想要完成好的理論來解釋這個快速習得的現象，哪能不懂機率的基本概念！ 

　　丘院士的這本書，真的很好，而且很「親切」，誰會想到他曾當過街頭小混混呢？也因為如此，他講卡拉比–丘（Calabi-Yau）流形，非常平實近人（當然讀者也必須花些心思的！）。對那十個維度中的時空四個維度，書裡的例子很生活化（例如與人相約在某交錯路口的某建築碰面，這是二維空間，講明約在幾樓，就是三維空間，再加上時間，便是四維空間了），不過對其他六個隱藏、捲縮的維度的說明，確實讓人不易掌握。我必須承認似懂非懂，但感覺很有趣！這本書我很專注的讀了兩遍，每次讀完，合書冥思，就對科學的分析內涵有一份新的感受，尤其是在幾何學的發展歷史上，空間概念的一再複雜化，是自然也是必然，在在使人感到物理世界、宇宙觀都必須環繞著這些空間的多維度整合，才演化出各種不同的能量和作用力。也許數學本身也是遵循著同樣的演化，數和理本為一體。對之人類「認識」世界的概念基礎，更是如此！ 

　　這樣對時空概念的論述，在我研究語言行為和記憶歷程的思考，顯得特別有意義。我們的腦神經在反映外在世界的心智歷程時，是把語言中時、空的訊息「糾」在一處的。當代的語言學大師王士元院士給我這張表： 

　　space (空間) ∕ time (時間) 

　　around：around the block ∕ around Christmas

　　at：at the house ∕ at 3 o'clock 

　　by：by the house ∕ by Sunday

　　for：for a mile ∕ for a week

　　from…to：from here to there ∕ from now to then

　　in：in the house ∕ in a week 

　　last：the last house ∕ last week 

　　little：little space ∕ little time 

　　long：a long house ∕ a long time 

　　next：the next house ∕ next week 

　　on：on the house ∕ on Sunday

　　over：over the mountain ∕ over the holidays

　　short：a short house ∕ a short time 

　　through：through the house ∕ through the week

　　最左邊是前置詞或形容詞，用來指稱空間的訊息，也用來描繪時間的訊息，從深一層去思考這「神經平台共享」的涵義，人本身就是時空的行者！ 

　　這本書給我最大的思維刺激，是多維度的概念。對身外宇宙的描述與理解，在數學上有卡拉比－丘所演算出的多個維度予以支撐，但對人內心的宇宙，到底要多少維度才能盡善的描述？舉個很簡單的例子：「牧童騎在牛背上，邊走邊吃草」，你當然「知道」不是牧童吃草，但字詞上和語法上都未告訴你，邊走邊吃草的是牛而非牧童。那個促成理解的訊息，是生活經驗，是常識，但那種經驗和常識是用什麼維度來理解呢？問問當下機械人的人工智慧，或許「它」只能說：佛曰不可解也！ 

曾志朗（本文作者為中央研究院院士）

推薦序2

看到萬事萬物之間的深層關聯

　　有一句順口溜「有關係就沒關係；沒關係就有關係」，其實這句有趣的順口溜可以有不同的解讀。

　　對政客和商人來說，關係是一個微妙的觀念，特別是「有關係就沒關係」這半句，和有權有錢的人拉上關係，大事可化小，小事可化無，沒關係就是沒問題。可是，對文學家和科學家來說，關係是個美妙、神奇的觀念，特別是「沒關係就是有關係」這半句，可以解釋為在一般人眼中被認為沒有關聯的觀念和事物，看透看懂了，卻是一為二、二為一，相生相應，相輔相成。 

　　我們都讀過李後主的虞美人：「春花秋月何時了，往事知多少？小樓昨夜又東風，故國不堪回首月明中。雕欄玉砌應猶在，只是朱顏改。問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流。」花就是花，月就是月，可是和春天、秋天扯上關係；春花秋月是風景，可是又和往事扯上關係；小樓昨夜又東風，有點涼意，卻又和故國回首扯上關係；雕欄玉砌是亭台樓閣，和朱顏改又有什麼關係？愁就是愁，卻和向東流的春水扯上了關係。這就是文學家敏銳的觸角看出來的關聯。 

　　在物理學裡，電力和磁力原來被認為是兩個獨立的自然力量，到了十八世紀以後，經由安培（Andre-Marie Ampere）、法拉第（Michael Faraday）和馬克士威（James Clerk Maxwell）的研究，才發現兩者之間密切的互動關係，這也就是發電機和馬達建造的基本原理。在中學幾何課裡，我們討論直線、三角形、圓形、橢圓形和拋物線；在代數課裡，我們學一元一次方程式、多元多次方程式，到了解析幾何課裡，就把幾何和代數拉上關係了。微分方程、偏微分方程是抽象的數學觀念，卻又和空氣流動、潮汐漲退拉上關係了。 

　　數學上三百多年的難題──「費瑪（Pierre de Fermat）猜想」，終於在1994年由普林斯頓大學的懷爾斯（Andrew Wiles）解決了，懷爾斯的證明建立在谷山豐（Yutaka Taniyama）和志村五郎（Goro Shimura）的猜想上，這個被稱為「谷山-志村的猜想」把兩種似乎毫無關係的複變數函數橢圓方程式（Elliptic Equations）和模型式（Modular Forms）拉上關係。費賴（Gerhard Frey）和瑞貝（Kenneth Ribet）又把「谷山-志村猜想」和「費瑪猜想」拉上關係。懷爾斯經由證明「谷山-志村猜想」證明了「費瑪猜想」。再講下去，希爾伯特（David Hilbert）的第十道問題可又不是和「費瑪猜想」有相連的關係嗎？ 

　　丘成桐教授是數學家，也是文學家，他在數學上傑出的成就是大家都知道的，同時，他家學淵源，在文學上的造詣甚深，寫詩、詞、賦和對聯，令人折服。他寫的一首詩〈龐卡赫之夢〉，開頭幾句是： 

　　我曾小立斷橋，我曾徘徊湖邊，想望著你絕世無比的姿顏。

　　我曾獨上高樓，遠眺天涯路，尋覓著你潔白無瑕的臉龐。

　　是一位舉世知名的數學大師在思考「龐卡赫猜想」（Poincare Conjecture）？還是一位才華橫溢的詩人在懷念著知心好友？ 

　　《丘成桐談空間的內在形狀》是一本充滿了新奇的觀念和廣闊的視野的書，嚴謹而又趣味，深邃而又近人，令人敬畏卻又引人入勝，讓我們看到多維的空間，更引發我們無盡的嚮往。大師的導引，絲絲入扣，娓娓動人。 

　　在本書的序文裡，丘教授特別引用了宋詞兩句：落花人獨立，微雨燕雙飛。 

　　雙飛乳燕何嘗不可以解釋為時間和空間、數學和物理、科學和文學比翼雙飛呢？

　　也記得有兩句詩：東邊日出西邊雨，道是無情卻有情。 

　　東和西、晴和雨、有和無，看不懂的人說是矛盾，看得透的人說是渾然一體。

　　得讀好書，不亦快哉！

劉炯朗（本文作者為清華大學蒙民偉榮譽講座教授∕中央研究院院士） 

推薦序3 

跟著丘教授了解幾何，了解宇宙

　　丘成桐教授以獨具的智慧，將宇宙的穹蒼奧祕、科學的精深無涯、數學的實質和玄妙，深入淺出的細細道來。 

　　他能從一般非內行人的角度，激發讀者好奇之心，隨著他思索探討這個美麗的世界。 

　　他能從自己身為當今數理界一代大師的思維，帶著讀者走過他天才苦學的一生，共享他攀登到至真至美成果頂峰的心路歷程。 

　　他以此書邀請讀者參加他與世界一些頂尖大師研討的過程，共同深窺這個無窮盡的宇宙。 

　　他以數理兼人文的世界級大師素養，寫出這本引人入勝的讀物，閱之能增加生活品質，老少咸宜。有意或者已經進入數理領域者，閱之更能增加宏觀、深度及信心。細讀此書後，人人會自覺為「似識幾何者。」

楊祖佑（本文作者為中央研究院院士∕國加州大學聖塔芭芭拉校區校長）

推薦序4

透過人文情懷與素養，展現美妙的數學世界 

　　認識丘成桐教授多年了，丘教授是世界最卓越的數學家之一，他是香港中文大學傑出校友，也是中大數學科學研究所的特聘教授，所以不時有機會見面交談，可是他的專業工作與成就我卻不甚了了。今日的前沿數學委實太專門，太深奧了，外行人看來唯覺「只在此山中，雲深不知處」，不可能問津。想不到去年他送我一本新著：The Shape of Inner Space（就是這本《丘成桐談空間的內在形狀》），我竟能始終興致滿滿地讀了。 

　　丘教授此書的合作書寫者是納迪斯（S. Nadis），文筆優美淺白，我對其中涉及數學與物理的專門問題，也只能霧中看花，不求甚解，但讀到丘成桐在求學和知識上探險的心路歷程，卻充滿驚喜與讚嘆。從此書我才知道，他最早的重大發現便是解決了愛因斯坦重力理論中存在已久的一個難題，而他後來最重要的數學發現，即證明卡拉比（Calabi）猜想並從而建立有卡拉比與他合名的「卡拉比-丘空間」的結構，又已經被廣泛應用到粒子物理學中最前沿的「超弦理論」上去。這和中大另一位特聘的物理學諾貝爾獎得主楊振寧教授從實際物理學問題出發，然後發現美妙數學結構，對數學造成衝擊，可謂異曲同工。 

　　半世紀前劍橋的科學家、小說家斯諾（C. P. Snow）提出「兩種文化」之說，慨嘆科學家與人文學者不通聲氣，格格不入。時至今日，這種情況不但未曾改變，還日趨激烈。丘成桐教授是一位很有人文情懷與素養的科學家（他還出過詩文集），他出版此書旨在為一般讀者「導遊」，諄諄引導讀者窺視，感受高深數學的精神、方法和目標，更是為有志後學指點迷津，對「科學文化」之推廣與普及，功莫大焉。今天此書翻譯成中文出版，我希望並相信它會受到廣大讀者的歡迎。 

金耀基（本文作者為前香港中文大學校長∕香港中文大學社會學榮休講座教授∕中央研究院院士） 

推薦序5

一段精彩的科學探索之旅 

　　二十世紀物理學最偉大的兩個概念是廣義相對論與量子力學，不過這也帶來一則難解之謎，因為至少從表面上來看，這兩個理論彼此之間並不相容。為了調和這兩者，於是出現了弦論。事實上，弦論似乎能夠涵括大自然所有的作用力與物質，因此足可稱為萬有理論。而且，由於弦論內蘊著十分深刻的數學與物理結構，現在仍是學者持續積極去研究與探索的主題。 

　　根據弦論，我們的空間有九個維度（另外還有一個時間維度），因此為了能夠正確的描述大自然，其中的六維則是卷藏成一個內在空間。而且不同形狀的內在空間，將會推導出不同的作用力與物質。 

　　為了符合大自然已知的物理性質，這個內在空間已知很可能就是卡拉比-丘空間，或是非常類似它的空間。卡拉比-丘空間的存在性首先是基於卡拉比的猜想，後來再由丘成桐加以證明。由於丘成桐提供的是構造式的證明論證，因此數學家和物理學家已經構造出許多卡拉比-丘空間，並正仔細分析研究中，至於哪個卡拉比-丘空間才能描述我們宇宙，這個問題依然懸而未決。 

　　《丘成桐談空間的內在形狀》這本書所敘述的，正是上述這段研究過程的精彩故事，同時也美妙的呈現了一位數學家的觀點。任何理解或記得畢氏定理的讀者，應該都能愉悅的享受這段閱讀之旅。 

　　隨著本書的文字漫遊於時空之際，我相信讀者的心靈也將隨之解放翱翔。 

戴自海（本文作者為香港科技大學高等研究院院長∕康乃爾大學講座教授）

推薦序6

宇宙．拓樸．十維琴

　　宇宙聖歌動萬心
　　幾何拓樸譜弦音
　　空間無盡神奇曲
　　試奏十維天籟琴

　　讀　丘先生大作有感，博一笑 

　　黃鍔上，二○一二，台北南港 

黃鍔（作者為中央研究院院士∕國立中央大學國鼎講座教授∕數據分析方法研究中心主任）

推薦序7

要了解自然，不能不用上幾何

　　《丘成桐談空間的內在形狀》這本書是近年來難得一見的科普（或者應該說是「數(學)普」） 作品。它之所以難能可貴，首要的原因當然是作者之一丘成桐是當代重量級數學家之一，書中對於丘教授傑出的數學生涯有第一手的描述，無論讀者是否熟悉數學的發展，丘教授帶有傳奇意味的學術經歷，讀起來都是有趣的故事。

　　其次，由於本書想把數學（幾何分析）與理論物理（弦論）中最尖端的研究介紹給大眾，既然一般讀者可能連基本數學名詞都沒聽過（有人知道「虧格」是什麼嗎？或者「繞異性」是什麼嗎？），作者便非得以日常語言及淺顯的比喻來說明現代數學基本概念（例如「黎曼面」、「黎奇曲率」或「凱勒流形」），這種解釋是在專業課本中看不到的，因此外行人可在書中讀到別處尋不著的當代數學導覽。其實我相信書中關於數學的說明，即便是專業人士（如數學系學生），讀了也會覺得是有趣與有益的。 

　　本書的主題之一，是數學家近乎憑空設想出來的幾何概念，對於描述真實的大自然現象是不可或缺的。這件奇妙的事，在古希臘時代已見端倪，到了四百多年前，克卜勒以橢圓（圓錐曲線之一）來描述行星軌道提供了更好的例子；但真正確立則是在愛因斯坦建立了廣義相對論之後，因為愛因斯坦於1915年底完成的這項工作，用上了德國大數學家黎曼於1854年創造的、適用於任何空間維度的「黎曼幾何」，而黎曼幾何可是遠比圓錐曲線來得更為抽象與奧祕，它能派上用場就不可能僅是巧合的事了。很多物理學家相信如果沒有黎曼建構的數學在手，愛因斯坦可能得延遲很多年才能得到廣義相對論。為什麼數學對於物理如此有用，至今沒人能解釋清楚。如果弦論未來證實是正確的量子重力理論，在弦論中扮演重要角色的「卡拉比-丘流形」（這個流形的來龍去脈與應用正是本書的主要故事）則會提供另一個令人驚歎的例子。 

　　有人可能要問，難道黎曼不能在愛因斯坦之前想出廣義相對論嗎？比愛因斯坦年長17歲、任教於德國哥廷根大學的大數學家希伯特（David Hilbert）曾如此感歎：「哥廷根市（黎曼也曾是哥廷根大學數學教授）街道上每個小孩都比愛因斯坦更懂四維空間的幾何，然而，即便是如此，想出廣義相對論的，卻是愛因斯坦而不是數學家。」希伯特甚至於曾在公開演講中說：「你們知道為什麼在我們這一世代之中，提出了關於空間與時間最具創意與最深奧看法的，是愛因斯坦而不是別人嗎？那是因為他對於時間與空間的哲學與數學一無所知！」 

　　希伯特曾在1915年夏天邀請愛因斯坦到哥廷根演講他研究廣義相對論的進展，當時愛因斯坦已大致掌握了理論架構（他從大學同學格羅斯曼那裡學到黎曼幾何），但是還沒得到正確的方程式。希伯特了解了愛因斯坦的問題之後，即刻加入重力方程式的競逐，幾個月後希、愛二人幾乎同時得到正確結果。（不過希伯特完全承認廣義相對論重要的點子都來自愛因斯坦，所以他從來不與愛因斯坦搶功。）希伯特之所以能夠追上愛因斯坦，主因當然是他對於幾何有深刻的理解。所以我們可以猜想，如果黎曼當年能知曉問題之所在，他便可能早愛因斯坦60年弄出廣義相對論，然而歷史終究不是這樣子！那麼物理學家愛因斯坦究竟比數學家黎曼多知道些什麼，才會問出正確的問題呢？ 

　　答案是愛因斯坦知道狹義相對論。如果沒有狹義相對論，也就是說，沒有時間膨脹、長度收縮的概念，彎曲時空的點子當然也就出不來。然而狹義相對論根源於馬克士威（James Clerk Maxwell）的電磁學：愛因斯坦看出馬克士威電磁學（電磁現象）意味著光速是固定的，而且相對性原理也成立，才被迫想到絕對時間的觀念必須拋棄。馬克士威與黎曼雖是同時代的人（黎比馬年長五歲），但黎曼過世太早，電磁學徹底建立是黎曼死後的事，所以黎曼當然無從得知時間與空間的相對性，光有黎曼幾何並不足以讓他認知彎曲時空這回事。 

　　廣義相對論的發展若沒有數學家的幫助，能不能成事還很難說；反過來，數學家也發現實際的物理問題能夠提供線索，引導他們瞧出之前從未想到的數學架構。物理學家維格納（Eugene Wigner）曾贊歎數學在自然科學中「不合理的有效」，其實物理學家所發現的方程式在數學中也有出奇的效用，《丘成桐談空間的內在形狀》這本書以許多當前熱門研究議題來介紹這件極神妙的事（請見書中圖13.4），非常值得讀者細心思量。 

高涌泉（本作者為台大物理系教授）

譯後序 

對曲撫弦好時光 

　　1985年7月，我提前一個月出國留學。當時台灣的戒嚴體制，不允許無端提早出國的時間，必須另案特別申請。感謝數學系的師長奔走，我才能如願搭上華航的班機。還記得飛機斜仰衝入雲層時，機身搖晃顫抖，當時心中忐忑，不知是興奮還是惶恐，是因為跨出這個囚鎖的島國？即將迎接未知的異國生活？抑或只是單純的生理恐慌。 

　　我之所以提前出國，是因為要參加加州大學聖地牙哥分校的一個數學「夏令營」，主辦人是丘成桐先生，他在1983年剛獲得數學界的諾貝爾獎——費爾茲獎，日後成為我的論文指導老師。這個數學營的對象是全球的華人數學家與學生，所以與我同行的還有許多台灣的師長或同輩，一個月同炊同宿同遊的日子，以及與「共匪」初遇交誼的經過，留下了許多特別的回憶。 

　　在營隊中，除了白天有沙灘排球、晚上看電影（記得是鄭紹遠帶來了《小城之春》），我們要閱讀、報告、討論，營中還有許多一流數學家的演講。當時多納森的四維拓樸工作出爐不久，再配合也在聖地牙哥的弗利德曼的龐卡赫猜想的結果，整個四維流形的研究有了根本的突破（這兩位數學家在隔年也都獲得最高榮譽的費爾茲獎），整個營隊的氣氛十分熱烈高昂。就這樣，我以一個學子身分，見證了一個數學時代的開始，隨後幾年一直處於數學研究的核心圈之一，讓我真真正正體會到，什麼是知識的演進、時代的推移。 

　　在聖地牙哥的兩年（中間有半年在德州奧斯丁）只下了一場小雨，每日都是陽光藍天，天氣怡和，漢米爾頓經常跟我們炫耀衝浪的故事；弗利德曼喜歡攀岩，還攀爬系館給大家看；孫理察則是排球健將，殺起球來虎虎生風；相較下來，丘先生雖然喜歡跟大家打球，球技就沒有數學那麼厲害。 

　　不過我們的生活絕不能用悠閒來形容，事實上，丘先生的學生一貫要參加許多研討班與演講（這點到現在似乎也沒有改變），每天學習行程滿檔，密度之大，蔚為奇談，引人側目。當時系上的師生，謠傳我們這個「幫派」整天用廣東話輪流報告，天曉得丘先生擔心我們日後的教學，嚴格要求我們用英文演說，只是大家的英文不標準罷了（奇怪的是，我們彼此卻都聽得懂）。記得當時，丘先生鼻炎嚴重，經常在大小演講的中途睡去，到快結束前才醒來，而且還隨即開始問問題，妙的是，他問的都是關鍵問題，比醒著的我們還準確。他這個嗜睡的毛病，幸好在奧斯丁時開刀後，就沒再看到了。 

　　由於丘先生的眼界開闊，給學生們的問題方向頗有差異，因此我們在研討班報告的範圍也很廣，刺激著彼此學習不同的領域，內容多是當時的重要研究，許多還是炙手可熱的預印稿。不過丘先生總是很忙，學生的研討班不見得能全程參與，出訪的時候更是同學鬆一口氣的時候。事實上，他並不像一般博士班指導老師，有指導學生的固定時間。倒不是他有意冷淡對待學生，而是因為他的訪客，不論是在美國西岸或後來的東岸，總是絡繹於途，因此學生只能各憑本事找他的空檔。不過，別看他事務繁忙，對數學的專注力卻十分驚人，幾乎不擇時地皆可思考，無論是聊天、走路、開車，幾乎任何時候，總是可以忽而從塵世俗事脫身，繼續在超然的數學話題上侃侃而談。 

　　但是丘先生似乎不認為自己是天才，至少不覺得天才是一個好數學家的決定性因素。所以他並不特別認為數學家異於常人，也不十分熱中於奧林匹亞之類的數學競賽。他從自己的成長體驗，更在乎學生是否有專注的毅力、辛勤的工作態度，以及熱愛數學的襟懷。也因此，雖然他有時看起來嚴肅，卻又常帶著童心好奇的天真。 

　　丘先生是一位很有行動力的人，如果說他是二十世紀最重要的華人數學家，有一部分原因出自他自始至終關心華人數學的地位與提升，並付出比其他海外華人數學家更多的努力。前述我們所參加的夏令營，正是他年輕時（當時他才36歲）就開始提高華人參與主流數學的努力嘗試。丘先生的華人學生一向很多，與我同期大概有十人之多，他帶著我們由加州、德州到麻州，中間顯然遇到許多行政上的挑戰，但他都一一為我們克服。 

　　後來，他更是積極來往於香港、台灣與大陸，說服學界、商界與政界人士，支持華人數學的發展。目前他在兩岸三地協助成立了許多數學研究中心，完全義務，並不支薪。1998年起，他更積極推動華人數學家大會（ICCM），積極提攜華人數學家，鼓勵他們奉獻於數學的大業。 

　　我經常聽到有人批評丘先生「霸氣」，不過學術界本非無塵脫俗的世界，自有現實的歷史宥限與學術政治，西方世界主導數學界幾百年，隱約總能聞出偏執、惡見、藏私、壟斷、保護的氣味。想要在現代數學界的中心位置殺出生路，衛護並推升華人數學的成就，卻唯獨這個霸氣不可少。他的種種臧否批評，不論是出自熱情或義憤，背後總有著清楚嚴謹的理路。 

　　丘先生的行動力，也促成了這本書。 

　　幾年前，丘先生告訴我他想寫一本數學科普書，問問我的意見。以科普書向大眾普及科學知識的重要性，盡人皆知，但是科普書不好寫，數學科普書更難寫，也是內行人都了然的難關。依照霍金開玩笑的講法，寫科普書每多一個公式，銷量就會掉一半，但是寫數學科普書若不寫出算式，卻經常讓識者覺得空洞，反而讓一般讀者學些似是而非的概念，不然就只是一些歷史故事、數學家軼事，甚或八卦。 

　　但是丘先生肯定寫科普書的重要性，不但想寫，而且希望能兼顧這兩個近乎不能相容的困難（見本書丘先生的兩序），由於丘先生本身是個大忙人，我無法想像他如何能抽空完成這件事，當時我的意見恐怕還是遲疑居多。沒想到四年之後，丘先生竟然真的將書「變」到我們的眼前；從本書內容的廣度與深度，這中間的辛苦顯然不足為外人道矣，但丘先生還是憑他的毅力完成了。 

　　在這段期間前後，丘先生也開始大力推動數學的普及化，他經常在各地做通俗性的數學演講，不但直言數學結構之美，深談數學與人文之聯繫，也談及數學教育的重要性，抨擊華人數學教育的疏失，這些演講散見於網路，日後勢將編輯成書。同時，他也在大陸推動《數學與數學人》、《數學與人文》兩叢書（應該算是雜誌），今年也協助在台灣推出《數學人文》雜誌（五南將出版）。 

　　最驚人的是，當我們譯完本書正在收尾時，丘先生又突然寄給我另一本將要出版的新書《哈佛數學150年》（A History in Sum: 150 Years of Mathematics at Harvard (1825-1975)，哈佛大學出版社）。他再一次不媚俗的選擇了他認為重要的課題，這一次他希望讀者（尤其是華人讀者）能夠以哈佛大學為案，理解美國如何從數學的不毛之地，走向數學的繁華之都。希望以此展示，何謂數學教育的應然方向，乃至高等教育該如何健全發展。希望我們能體認，高等教育必須以第一等研究為主要目標。 

　　至於我想翻譯這本書，倒不是因為丘先生是我的老師，雖然這層關係在溝通譯文上多了便利與信任，但他自始至終可都沒有擺出什麼老師的架子。想要翻譯，一方面是丘先生以世界一流數學家之姿，卻花費四年來完成一本數學科普書，其中的風範與熱情固然令人動容；同時正因如此，我猜讀者也會十分好奇，他想談論的主題內容的獨特性與重要性。 

　　簡而言之，本書的主旨是要以數學家的觀點，來談論弦論十維空間中的六維內在空間，這個空間基本上是所謂的卡拉比-丘空間，其中丘就是丘成桐，這是他證明了卡拉比猜想而確立的幾何空間，他也因此榮獲費爾茲獎。而由於書中深入談到他證明這個猜想以及日後應用的過程，因此從某種角度，也可以看成丘先生的半傳記。 

　　底下我先簡單介紹一下全書的梗概。本書大致上可以第六和第七章為界，大略分成前後兩部分（扣掉最前面的介紹，與最後面的總結章節）。第一部分鋪陳閱讀這本書的數學背景，順便鳥瞰當代的幾何學。第二部分則強調如何將卡拉比-丘流形運用到弦論中。 

　　在第一章開宗明義、大致介紹隱藏或內在空間的想法之後，第二章簡短追溯幾何學的歷史源流，也順便釐清一些幾何概念；然後作者在第三章介紹了今日幾何學的新工具——幾何分析學的發展，尤其介紹了到目前為止的三大成就之二：四維拓樸和龐卡赫猜想；由於第三項成就——卡拉比猜想是本書的主題，因此分成第四、五兩章，依序介紹卡拉比猜想的意義，以及丘先生證明猜想的過程。 

　　在第一部分與第二部分之間的六、七兩章，基本上可以看成數學和物理的邊界。作者首先在第六章介紹弦論兩次革命的發展，並解釋本書主角卡拉比-丘流形在弦論中的理論重要性；第七章則反之，指出弦論或物理學的思考如何帶給數學研究上豐富的深遠影響，尤其是鏡對稱。 

　　第二部分始於第八章。在本章作者給出例子，說明弦論學者如何巧妙的建立了卡拉比-丘流形與黑洞資訊悖論間的關聯。第九章則說明如何透過卡拉比-丘流形，從弦論回歸到標準模型，試圖重建基本粒子的各種性質。第十章淺談內在空間的其他可能性，以及卡拉比-丘流形在其中扮演的關鍵角色。第十一章談到由於宇宙終將去緊緻化所導致的宇宙末日想像。第十二章則回到內在空間觀測證據的問題，論析目前藉由天文觀測或加速器所能提供的證據可能性。 

　　最後兩章則是總結性的反思，第十三章談論數學和物理的辯證發展關係，以及弦論對數學的意義。第十四章則為了調和廣義相對論與量子力學預設的不同空間觀點，探討未來幾何學的可能發展方向。 

　　另外，丘先生在全書「序曲」與「終曲」裡，以柏拉圖的「幾何化」構想為主軸，暢談了本書的數學思想主題，構成一個美好的循環。&n