高等數學及其應用（下）

第7章 多元函數微分法及其應用 1
7.1 多元函數 1
7.1.1 平面點集 1
7.1.2 多元函數的基本概念 3
7.1.3 多元函數的極限 5
7.1.4 多元函數的連續性 8
7.2 偏導數 11
7.2.1 偏導數的概念 11
7.2.2 偏導數的幾何意義 14
7.2.3 高階偏導數 15
7.3 全微分 18
7.3.1 全微分的概念 18
7.3.2 全微分在近似計算中的應用 23
7.4 多元複合函數的求導法則 26
7.4.1 多元複合函數的微分法 26
7.4.2 全微分形式不變性 31
7.5 隱函數的求導公式 33
7.5.1 一個方程的情形 33
7.5.2 方程組的情形
7.6 多元函數微分學的幾何應用 40
7.6.1 空間曲線的切線與法平面 40
7.6.2 曲面的切平面與法線 44
7.7 方向導數與梯度 48
7.7.1 方向導數 48
7.7.2 梯度 50
7.8 多元函數的極值及其應用 54
7.8.1 多元函數的極值與最值 54
7.8.2 條件極值拉格朗日乘數法 58
7.9 最小二乘法 62
總習題7 66
實驗7 多元函數的極限及偏導數的計算 69
參考答案 70
第8章 重積分 78
8.1 二重積分 78
8.1.1 二重積分的概念 78
8.1.2 二重積分的性質 81
8.1.3 平面區域的表示 82
8.2 二重積分的計算 85
8.2.1 利用直角坐標計算二重積分 85
8.2.2 利用極座標計算二重積分 89
8.2.3 一般變換計算二重積分 94
8.3 三重積分 99
8.3.1 三重積分的概念 99
8.3.2 三重積分的計算 100
8.4 重積分的應用 107
8.4.1 曲面的面積 107
8.4.2 質心 110
8.4.3 轉動慣量 112
8.4.4 引力 113
總習題8 116
實驗8 重積分 118
參考答案 119
第9章 曲線積分與曲面積分 123
9.1 對弧長的曲線積分 123
9.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質 123
9.1.2 對弧長的曲線積分的計算 125
9.2 對座標的曲線積分 129
9.2.1 對座標的曲線積分的概念與性質 129
9.2.2 對座標的曲線積分的計算 132
9.2.3 兩類曲線積分之間的聯繫 136
9.3 格林公式及其應用 139
9.3.1 格林公式 139
9.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件 143
9.3.3 二元函數的全微分求積 145
9.4 對面積的曲面積分 149
9.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質 149
9.4.2 對面積的曲面積分的計算 150
9.5 對座標的曲面積分 154
9.5.1 對座標的曲面積分的概念與性質 154
9.5.2 對座標的曲面積分的計算 158
9.5.3 兩類曲面積分之間的聯繫 160
9.6 高斯公式通量與散度 162
9.6.1 高斯公式 162
9.6.2 曲面積分與積分曲面無關的條件 165
9.6.3 通量與散度 166
9.7 斯托克斯公式環流量與旋度 169
9.7.1 斯托克斯公式 169
9.7.2 空間曲線積分與路徑無關的條件 173
9.7.3 環流量與旋度 174
總習題9 176
實驗9 曲線積分與曲面積分 179
參考答案 181
第10章 無窮級數 184
10.1 常數項級數的概念與性質 184
10.1.1 常數項級數 185
10.1.2 收斂級數的基本性質 187
10.1.3 柯西審斂原理 190
10.2 正項級數 192
10.2.1 比較審斂法 192
10.2.2 比值審斂法和根值審斂法 196
10.2.3 柯西積分審斂法 199
10.3 任意項級數 200
10.3.1 交錯級數 201
10.3.2 絕對收斂與條件收斂 202
10.4 冪級數 207
10.4.1 函數項級數的概念 207
10.4.2 冪級數及其收斂性 207
10.4.3 冪級數的運算 212
10.5 函數展開成冪級數 215
10.5.1 泰勒級數 216
10.5.2 函數展開成冪級數的方法 218
10.5.3函數的冪級數展開式的應用 224
10.6 傅裡葉級數 226
10.6.1 三角函數系及其正交性 226
10.6.2 函數展開成傅裡葉級數 227
10.6.3 傅裡葉級數的收斂性 229
10.6.4 正弦級數和余弦級數 233
10.7 一般週期函數的傅裡葉級數 237
10.7.1 週期為2l的週期函數的傅裡葉級數 237
10.7.2 傅裡葉級數的複數形式 240
總習題10 243
實驗10 無窮級數 245
參考答案 250
第11章 微分方程 255
11.1 微分方程的基本概念 255
11.2 可分離變數的微分方程與齊次方程 259
11.2.1 可分離變數的微分方程 260
11.2.2 齊次方程 264
11.3 一階線性微分方程 268
11.3.1 一階線性方程的解法 268
11.3.2 伯努利方程 272
11.4 全微分方程 275
11.5 可降階的高階微分方程 279
11.5.1 y（n）=f（x）型的微分方程 279
11.5.2 y″=f（x， y′）型的微分方程 280
11.5.3 y″=f（y， y′）型的微分方程 282
11.6 二階線性微分方程 285
11.7 二階常係數齊次線性微分方程 288
11.8 二階常係數非齊次線性微分方程 293
11.8.1 f（x）=Pm（x）erx型 293
11.8.2 f（x）=eαx［Pl（x）cosβx+Pn（x）sinβx］型 296
11.8.3 歐拉方程 299
11.9 微分方程的冪級數解法 301
總習題11 304
實驗11 常微分方程的求解 305
參考答案 310