初等數論

第二版說明
第一版序
符號說明
第一章 整除
1 自然數與整數
2 整除
3 帶余數除法與輾轉相除法
4 最大公約數理論
5 算術基本定理（A）
6 算術基本定理（B）
7 符號[X]，n！的分解式
8 容斥原理與3.14……（X）的計算公式
第二章 不定方程（I）
1 一次不定方程
3 X2+Y2=Z2
第三章 同余
1 同余
2 同余類與剩余系
3 （M）的性質與Fermat-Euler定理
4 Wlison 定理
第四章 同余方程
1 同余方程的基本概念
2 一次同余方程
3 一次同余方程組,孫子定理
4 一般同余方程的求解
5 橫為素數的二次同余方程
6 Legendre符號,Gauss二次互反律
7 Jacbi符號
8 模為素數的高次同余方程
9 多元同余方程,Chevalley定理
第五章 指數與原根
1 指數
2 原根
3 指標、指?組與既約剩余系的構造
4 二項同余方程
第六章 不定方程（II）
……
第七章 連分數
第八章 素數分布的初等結果
第九章 數論函數
附錄一 自然數
附錄二 算術基本定理不成立的例子
附錄三 初等數論的幾個應用
附錄四 國際數學奧林匹克競賽中數論有關的題
習題的提示與解答

初等數論是研究整數最基本的性質，是一門十分重要的數學基礎課。它不僅應該是中、高等師範院校數學專業，大學數學各專業的必修課，而且也是計算機科學等許多相關專業所需的課程。中學生（甚至小學生）課外數學興趣小組的許多內容也是屬于初等數論的。

整除理論是初等數論的基礎，它是在帶余數除法（見第一章§3定理1）的基礎上建立起來的。整除理論的中心內容是算術基本定理和最大公約數理論。這一理論可以通過不同的途徑來建立，而這些正反映了近代數學中的十分重要的思想、概念與方法。本書的第一章就是討論整除理論，較全面地介紹了建立這一理論的各種途徑及它們之間的相互關系。同余理論是初等數論的核心，它是數論所特有的思想、概念與方法。這一理論是由偉大的數學家C.F.Gauss在其1801年發表的著作《算術研究（Disquisitiones Arithmeticae）》中首先提出並系統研究的。Gauss的這一名著公認為是數論作為數學的一個獨立分支的標志。本書的第三、四、五章就是較深入地討論同余理論的基本知識，包括同余、同余類、完全剩余系和既約剩余系等基本概念及其性質；一次、二次同余方程和模為素數的同余方程的基本理論；以及既約剩余系的結構。從歷史來看，求解不定方程是推進數論發展的最主要的課題，我們在第二、六章討論了可以用以上建立的整除理論和同余理論來解的幾類最基本的不定方程。一般來說，以上這些就是初等數論的基本內容，是必需掌握的。為了滿足讀者不同的需要，除了在這六章中有若干加“*”號的內容外，我們在第七章討論了連分數與Pell方程，第八章討論了素數分布的初等結果，及第九章的數論函數，供讀者選用（這三章中有些部分要用到一點初等微積分知識，較難的加“*”號表示）。這些也都是初等數論的重要內容。本書的取材嚴格遵循少而精的原則，及作為基本上適用于前述各類學生的通用教材來安排的。此外，對某些重點內容在正文、例題和習題中從不同角度作適當反復討論，根據我們的經驗，這對全面深入理解和教與學都是有益的。特別要指出的是，這樣的安排十分有利于自學。這些內容主要是︰最大公約數理論，算術基本定理，剩余類及剩余系的構造，EuJer函數，以及某些不定方程。在具體講授時可根據需要和學時多少，適當選擇其中一部分或全部，及選擇一部分讓學生自學。

數論是研究整數性質的一個數學分支，當然對“整數”本身必須有一個清楚、正確的認識，但要做到這一點並不容易，在附錄一中介紹了自然數的Peano公理，對此作一初步討論。在整數中算術基本定理——每個大于1的整數一定可以惟一地（在不計次序的意義下）表為素數的乘積——的正確性好像是理所當然的，但實則不然。為了較有說服力地向剛接觸數論的讀者說明，當研究對象稍為擴大一點，即研究所謂代數整數環時，算術基本定理就不一定成立，我們在附錄二中討論了二次整環z[／-5]。初等數論本身有許多有趣應用，在附錄三中介紹了四個簡單的應用，特別是電話電纜的鋪設幾乎用到了初等數論的全部基本知識。大家知道，初等數論在國際數學奧林匹克競賽中佔有愈來愈重要的地位，這些競賽題的絕大多數都是很好的，對提高大、中學生的數學素質是很有幫助的。因此，我們在附錄四中列出了至今三十二屆競賽中可用初等數論方法——即第一章的整除理論——來解的51道題（佔總數194道題的26．3％）。

初等數論初看起來似乎很簡單，但真正教好、學好它並不容易，尤其是習題很不好做。這一方面可能是覺得初等數論的理論沒有什麼內容，從代數觀點來看只是一些簡單的例子，僅把它作為學習代數的預備知識，不了解整數本身所包含的豐富而重要的內涵而不加重視；另一方面是忽視初等數論的理論，只把它看作是一些互不相關的有趣智力競爭題，因而不認真學習它的理論並用以指導解題。事實上，或許可以說，初等數論是數學中“理論與實踐”相結合得最完美的基礎課程，近代數學中許多重要思想、概念、方法與技巧都是從對整數性質的深入研究而不斷豐富和發展起來的。數論在計算機科學等許多學科，以及離散數學中所起的日益明顯的重要作用也絕不是偶然的。這些正是學習初等數論的重要性之所在。

為了比較好地滿足教與學的需要，數學基礎課教材應當配有適量的、互相聯系的、理論與計算並重的例題和習題，通過這些例題和習慣能更好地理解、掌握以及自然地導出所講述的概念、理論、方法與技巧。我們盡量地按照這一要求去做。為了學好數學基礎課必需獨立去做較多的習題。本書的習題依每節來安排，正文中共768道題，為了便于教師選用，在本末給出了提示與解答，但希望學生不要輕易就看解答，應該力爭由自己獨立完成。各附錄共有76道題，都沒有給出提示與解答。

我們深知要寫好一本初等數論的教材絕非易事，雖然，我們從事數論工作數十年，從1978年起就在山東大學與北京大學開設初等數論課，但一直未敢動筆。現在為了適應教學需要，把我們多年所積累的講稿進行挑選、補充和進一步加工整理，編寫成這一本不夠成熟，我們也仍不滿足的教材，其中疏忽不當以致錯誤之處在所難免，切望同行和讀者多多指正。

本書的出版得到了我們的母校北京大學教材建築委員會和北京大學出版社數理編輯室的大力支持；責任編輯劉勇同志改正了書稿中的許多筆誤和疏漏，做了大量有益的工作，對此表示最衷心的感謝！

潘承洞 潘承彪
1991年11月于北京