同倫方法縱橫談

續編說明
編寫說明
前言
一 神奇的同倫方法︰庫恩多項式求根算法
§1.1 多項式方程求根的魔術植物栽培算法
1.1.1 庫恩算法探勝
1.1.2 庫恩算法經濟嗎？
1.1.3 庫恩算法的內涵
§1.2 有益的討論︰正四面體能填滿空間嗎？
1.2.1 正三角形可以鋪滿平面
1.2.2 正四面體可以把空間填滿嗎？
1.2.3 算一下正四面體的二面角
1.2.4 問題的應用價值
§1.3 同樣有趣的問題︰圓周鋪不滿平面，卻能充滿整個空間
1.3.1 鋪填問題
1.3.2 圓周鋪不滿平面
1.3.3 試試用球面填空間
1.3.4 借用一直線，圓周即可充填空間
1.3.5 圓周巧填空間
二 算法的成本理論
§2.1 數值計算的復雜性問題
2.1.1 驚人的成本︰可怕的指數增長——古印度數學故事
2.1.2 算法的目標︰尋求多項式時間算法
§2.2 斯梅爾對牛頓算法計算復雜性的研究
2.2.1 代數基本定理與計算復雜性問題
2.2.2 經典的算法︰多項式求根的牛頓算法
2.2.3 難于駕馭的牛頓方法︰牛頓方法什麼時候听話？
2.2.4 斯梅爾的創造︰概率論定牛頓算法是多項式時間算法
2.2.5 非凡的進步︰從最壞情形分析到概率情形分析
§2.3 庫恩算法的計算復雜性
2.3.1 庫恩多項式零點算法的計算復雜性
2.3.2 積木結構的成本估計
2.3.3 引理的初等證明
2.3.4 算法之比較和配合
§2.4 數值計算復雜性理論的環境與進展
2.4.1 影響巨大的斯梅爾學派
2.4.2 數值計算復雜性討論的學科環境
2.4.3 數值計算方法及其復雜性討論的動力系統框架
2.4.4 經典的牛頓型迭代
2.4.5 一般收斂算法
2.4.6 數值計算方法的相關進展與前沿課題
三 單純同倫方法的可行性
§3.1 連續同倫方法和單純同倫方法
§3.2 整數標號的單純同倫方法
3.2.1 漸細單純剖分
3.2.2 (0，1]×R的漸細單純單純剖分
3.2.3 整數標號和全標三角形
3.2.4 互補轉軸算法
3.2.5 同倫的過程
3.2.6 整數標號單純同倫算法的可行性
§3.3 向量標號單純同倫算法的翼狀伸延道路
3.3.1 整數標號單純同倫算法和向量標號單純同倫算法
3.3.2 向量標號與完備單純形
3.3.3 零點集的困難
3.3.4 理想化假設和小擾動技巧
3.3.5 n階撓曲線揭真諦
3.3.6 完備單形都恰有一對完備界面
3.3.7 非退化直紋面片
3.3.8 翼狀二維結構使道路暢通
3.3.9 轉軸運算
四 連續同倫方法的應用實例︰多復變羅歇定理的證明
§4.1 同倫方法依據的基本定理
§4.2 多復變羅歇定理證明的同倫方法
4.2.1 將廠調整為正則映照
4.2.2 同倫的設計
4.2.3 曲線在柱體內單調伸延
§4.3 同倫方法的啟示
五 同倫方法的經濟學背景︰一般經濟均衡理論
§5.1 一般經濟均衡理論與諾貝爾經濟學獎
5.1.1 純交換經濟一般均衡模型
5.1.2 瓦爾拉斯法則與帕累托最優解
5.1.3 兩位經濟學諾貝爾獎獲得者
§5.2 同倫方法的經濟學應用背景
六 同倫方法的傳奇人物︰斯梅爾，斯卡夫和李天岩
§6.1 富有傳奇色彩的斯梅爾
6.1.1 斯梅爾的青少年時代
6.1.2 斯梅爾的學術生涯
§6.2 斯卡夫與單純不動點算法
§6.3 博士生李天岩的開創性貢獻
6.3.1 開創混沌理論
6.3.2 開創連續同倫方法
§6.4 結束語︰楊振寧教授談學問之道
附錄
附錄1 映像度機器算法平話
附錄2 阿羅不可能定理溯源
參考文獻