數學哲學︰對數學的思考

第一部分 概觀
第1章 什麼使數學如此有趣（對一個哲學家）？
1．異性相吸？
2．數學與哲學︰先有雞還是先有蛋？
3．自然主義和數學
第2章 各類問題及其嘗試性的回答
1．必然性和先天知識
2．有關全局的問題︰對象和客觀性
2．1對象
2．2真理
3．數學的和物理的
4．局部問題︰ 定理、理論，以及概念
第二部分 歷史
第3章 柏拉圖的理性主義和亞里士多德
1．在的世界
2．柏拉圖之于數學
3．數學之于柏拉圖
4．亞里士多德，令人尊敬的對手
5．進一步閱讀建議
第4章 親近的對手︰ 康德和密爾
1．重新定位
2．康德
3．密爾
4．進一步閱讀建議
第三部分 三大主義
第5章 邏輯主義︰ 數學（只）是邏輯？
1．弗雷格
2．羅素
3．卡爾納普和邏輯實證主義
4．當代觀點
5．進一步閱讀建議
第6章 形式主義︰ 數學陳述有任何意義嗎？
1．基本觀點；弗雷格的沖擊
1．1 詞項
1．2 游戲
2．演繹主義︰ 希爾伯特的《幾何基礎》
3．有窮主義︰ 希爾伯特計劃
4．不完全性
5．科里
6．進一步閱讀建議
第7章 直覺主義︰ 我們的邏輯是不是有問題？
1．修正經典邏輯
2．老師，布勞威爾
3．學生，海丁
4．達米特
5．進一步閱讀建議
第四部分 當代視野
第8章 數是存在的
1．哥德爾
2．信念之網
3．集合論實在論
4．進一步閱讀建議
第9章 不，它們不
1．虛構主義
2．模態構造
3．我們應該如何解釋這一切？
4．補遺︰少壯派
5．進一步閱讀建議
第10章 結構主義
1．背後的思想
2．先物結構主義，和對象
3．沒有結構的結構主義
4．關于結構的知識
4．1 模式識別和其他抽象
4．2 隱定義
5．進一步閱讀建議
參考文獻
索引

這是一本關于數學的哲學著作。它首先涉及形而上學的內容︰數學是關于什麼的？它有研究對象嗎？這個研究對象是什麼？數、集合、點、線、函數等等是什麼？然後有關于語義學的內容︰數學陳述的含義是什麼？數學真理的本質是什麼？以及關于認識論的︰數學是如何被認識的？它的方法論是什麼？觀察牽涉其中嗎？抑或它只是純心靈的活動？如何裁央數學家之間的爭論？什麼是證明？證明是絕對確定的、不受理性懷疑的嗎？數學的邏輯是什麼？存在不可知的數學真理嗎？

數學因其是一個一成不變的領域而聞名遐邇，與哲學（在這方面）能有多不同就有多不同。在這里，事物似乎被一勞永逸地安排在一個亡成不變的基礎上。真是如此嗎？數學中有沒有革命，使那些長期存在的信念被拋棄？考慮到數學在自然和社會科學中被應用——以及被需求的程度，看起來基本上是一種心靈活動的數學，如何對科學所研究的物理的、人類的和社會的世界有所說明呢？為什麼不了解很多數學就不能很深入地理解世界（自然科學意義上的）？對于數學這說明了什麼？對于物理的、人類的和社會的世界，這又說明了什麼呢？

數學哲學屬于一個大類，這個大類包括物理學哲學、生物學哲學、心理學哲學、語言哲學、邏輯哲學甚或關于哲學的哲學。其主題是探討與某個學術領域相關的哲學問題，內容包括該領域的形而上學、認識論、語義學、邏輯和方法論。一般來說，X的哲學是由關心X的人來推動的，目的是想闡明它在整個知識領域中的位置。最理想的是，從事X研究的人應能從一種X的哲學中獲得些什麼︰對她的研究領域的評價、它的定位，以及對其在對世界的理解中所扮演角色的看法。數學哲學家需要對數學本身，對作為人的數學家，對數學得以應用的世界提出看法，這是下個很高的要求。

本書分為四個部分︰第一部分，“概觀”，提供了對數學哲學的一個概述。第1章討論了數學在哲學史上的地位，以及數學和數學哲學之間的關系。第2章廣泛討論了數學哲學中的問題及其主要立場，或立場的各種類型。

第二部分，“歷史”，概述了歷史上的某些哲學家關于數學的觀點，並指出了數學在其一般哲學發展中的重要性。第3章討論古代世界的柏拉圖（Plato）和亞里士多德（Aristotle），而第4章則前進到所謂的“近代時期”，主要討論伊曼努爾‧康德（Immanuel Kant）和約翰‧斯圖亞特‧密爾（John Stuart Mill）。本書這一部分的意圖是講解一個徹底的理性主義者（汁白拉圖）———個認為憑人類心靈自己就能夠擁有關于世界的切實的知識的哲學家——和一個徹底的經驗主義者（密爾）———個把所有，或幾乎所有知識都建立在觀察之上的哲學家。康德則無畏地嘗試了一種在理性主義和經驗主義之間的綜合，對此兩種觀點取長補短。∣這些哲學家是大部分當代有關數學思考的先驅。

第三部分，“三大主義”，涵蓋了主導本世紀（20世紀）早期的爭論並仍然為當代文獻提供了眾多戰線的主要哲學立場。第5章討論邏輯主義，認為數學就是、或能還原為︰邏輯。第6章討論形式主義，一種著眼于如下事實的觀點︰很多數學由對語言符號按規則的操作組成。第7章討論直覺主義，認為數學由心靈構造組成。這“三大主義”的每一種在今天都有支持者。其中一些在本書的這一部分有所討論。

第四部分題為“當代視野”。第8章討論的是這樣的觀點，它們按照字面意義理解數學語言，並認為數學斷言的絕大部分都是真的。這些哲學家認為數、函數、點以及諸如此類的東西獨立于數學家而存在，然後他們試圖說明我們如何能有關于這些事物的知識，以及如此解釋的數學如何與物理世界相聯系。第9章討論那些否認數學對象本身存在的哲學家。此處討論的這些作者或者重新解釋數學斷言，以便使它們不必假設數學對象的存在也能為真，或者為數學確定一種與斷言真理、否定謬誤完全不一樣的重要角色。第10章是關于結構主義的，這種觀點認為數學是關于模式而不是個體對象的。這是我自己的立場（Shapiro 1997）。所以人們可以說我把最好的留在了最後。除了這一點冒昧之處外，我在整本書中都努力做到不偏不倚，整個計劃是力圖寫一本這樣的書，它既為那些對數學有興趣但缺少哲學背景的人，又為那些對哲學有興趣但缺少數學背景的人提供一些知識。對于本書大部分內容，熟悉高中或大學低年級數學，或許再加上一個哲學導論的課程就足夠了。我力圖避免過多使用符號，並對所使用的符號進行了解釋。在某些地方，我可能假設了太多超出大學水平的數學，而在另一些地方又對不熟悉哲學術語的讀者來說假設太多，但我希望這些地方極少並且相隔很遠，而不會打斷整本書的流暢，《牛津哲學詞典》（The Oxford Dictionary of Philosophy Blackburn，1994）也許為初次接觸哲學的人提供了一個方便的參考。

就這個計劃來說我要感激很多人。首先感謝約翰‧斯科儒夫斯基（John Skorupski）建議我寫這本書，還要感謝牛津大學出版社的瑞特‧孟奇洛夫（Reter Momtchiloff），喬治‧米勒（George Milker），萊斯利‧威爾森（Lesley Wilson）和蒂姆‧巴頓（TimBarton）在本書的整個出版過程中的鼓勵和指導。當這本書的想法最初提出來後，我從同事和朋友那里得到的普遍意見是︰有這樣一本書當然很好，而我也是寫這樣一本書的合適人選。我為這些贊美而深感榮幸，但所承擔的任務又讓我有些膽怯。我希望已將失望減少到最低限度。特別感謝佩內洛普‧麥蒂（Penelope Maddy），她閱讀了大部分章節的手稿並提出了仔細的建議。很多同事和朋友閱讀了本書的部分手稿，並給我慷慨的幫助。我特別感激在歷史材料方面得到的幫助，給我提出建議的有︰喬迪‧阿佐尼（Jody Azzouni）、馬克‧巴拉格爾（Mark Balagner）、李‧布朗（Lee Brown）、約翰‧布吉斯（John urgess）、雅各布‧布什（Jacob Busch）、查爾斯‧赤哈拉（Charles Chihara）、朱利安‧科爾（Julian Cole）、邁克爾‧戴特芬森（Michael Detlefsen），若有遺漏則源自我的粗心，我對他們表示歉意。還要感激聖安德魯絲（St Andrews）大學邏輯與形而上學系允許我在1996年秋季學期以本書的材料開設了一門課程。我在利茲（Leeds）大學的一小部分教師和學生中講演了關于康德的半章，並在隨後的討論中受益匪淺。感謝本杰明‧畢比（Benjamin Beebe）幫助完成定稿。

對我的妻子貝弗利‧夏皮羅（Beverly Roseman Shapiro）以及我的孩子們我也各懷感激。他們有理由在我把自己關起來進行這項工作時感到惱怒。這本書深情地獻給我的孩子們︰瑞奇（Rache）、尤娜（Yonah）和阿維娃（Aviva）。沒有他們，即使哲學上豐富的生活也會是空虛的。