數：計算機、哲學家及對數的含義的探索

引言 數和想象力
第一部分 用於計算的數
　第一章 第一批問題
　第二章 早期的記數系統
　 美索不達米亞的教育
　 美索不達米亞的數系
　 六十進制的優點
　 美索不達米亞人的數學家庭作業
　 埃及的數系
　 阿梅斯紙草書中的一個問題
　 瑪雅的數系
　 中國的數系
　 《九章算術》中的一個問題
　第三章 我們的位值制
　 新系統的注解
　第四章 分析機
　 計算器、計算機和人的想象力
　 巴貝奇和分析機
　 數系的早期電子表示
　 計算機中數的表示
　 浮點表示
　 浮點算術和計算器
　 為什麼制造計算機？
第二部分 數的思想的推廣
　第五章 數的概念的演化
　 無理數
　 薩摩斯的畢達哥拉斯
　 *2的無理性
　第六章 負數
　 印度次大陸的古代數學課本
　 走出印度
　第七章 代數數
　 塔爾塔利亞、費拉里和卡爾達諾
　 吉拉爾和沃利斯
　 歐拉和達朗貝爾
　 關於「虛」數的爭論
　 復數：現代的觀點
　 復數的使用
　第八章 超越數及其含義的研究
　 戴德金和實數線
第三部分 無窮的問題
　第九章 早期的理解
　第十章 伽利略和波爾查諾
　 作為數的無窮
　 《項狄傳》
　第十一章 康托爾和無窮的邏輯
　 有理數不比自然數多
　 實數多於自然數
　 羅素悖論
　 羅素悖論的解決
　第十二章 康托爾的遺產
　 哥德爾
　 當代的形式語言
　 圖靈
大事年表
術語表

數學，也許還有古典音樂，是人類精神的最高創造。它完全從頭腦中產生，就像雅典娜從宙斯的前額中跳出來一樣。作為人類思想的最高境界，數學往往帶有它那種特有的靈性和神秘，遠離芸芸眾生，可是對於少數人，數學卻能像音樂一樣，給他們以巨大的心靈震撼。請看一下《羅素自傳》的第一卷：「11歲時，我開始學習歐幾里得幾何學，哥哥做我的老師。這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉。我從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西。」無獨有偶，愛因斯坦在他的「自述」中也談到：「12歲時，我經歷了另一種性質完全不同的驚奇：這是在一個學年開始時，當我得到一本關於歐幾里得平面幾何的小書時所經歷的。這本書里有許多斷言，比如，三角形的三條高線交於一點，它們本身雖然並不是顯而易見的，卻可以很可靠地加以證明，以致任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象。」當然，他們兩位所說的還是2 300年前的歐幾里得，而到21世紀我們所有的數學瑰寶就更加光彩奪目，遠遠超出人們的想象。

雖說數學大廈高聳人雲，它卻不是建在天上，只是少數神仙的游樂場。它植根於地下，也朦朧地出現在每個人的心中。這是因為數學不僅有精神天父的基因，也有物質地母的基因。這決定數學從一開始就不可避免地是一種實用知識，它們實在太俗了，以至於某些自以為有高貴血統的人拼命要掩蓋其卑賤的出身，就像概率論學者不愛提它來自賭場的問題。計量、商貿、會計、人口普查是最早的應用數學，現在依然如此。盡管它們早已被排除在數學之外，可是正是這些活動把數學與日常生活聯系在一起，也正因為如此，基礎數學教育應運而生，至今仍是興旺發達的事業。說到這里，我們不能不為中國古代的數學和數學教育而自豪，早在孔夫子之前，中國（至少在齊國），九九表已經相當普及，可是兩千年后，意大利的商人子弟在家鄉只能學會加法，而要學乘法就得進城請教專家、大師了。西方的基礎教育有3R（Reading，Writing，Arithmetic）的說法，簡言之就是讀、寫、算，這說明在把文盲教育成識字的人的同時，還要使他們不致維持「數富」的狀態。其實，對於絕大多數人來說，這已經足夠了，哪怕是現在的「信息時代」、「數字化時代」。

奇怪的是，雖然人們並不太需要太多的數學，數學教育家卻結結實實地灌輸給學生大量的數學。如果你小學畢業，6年數學都是主課。如果你完成義務教育，那就得念9年數學。高中3年的數學更是難得要命，這還沒有算上微積分。即便中學不學微積分，上大學許多人還是逃不掉，不僅學理工的要念微積分，學經濟、金融、管理的也要念。學文的雖然可逃此一劫，可老托爾斯泰的《戰爭與和平》的最后，就有微積分的論述，而且頗為深刻。馬克思、恩格斯、列寧也懂微積分。這麼說，難道一個人非得念十好幾年的數學嗎？更糟的是，正課之余許多學生還得為「奧數」拼搏。這些題之偏之難連國際著名的數學大師陳省身都不一定做得出來。費了半天勁，除了文憑和分數之外，究竟有什麼收獲呢？把大量數學教給青少年也許並不是那麼不合理。相反，從古到今，數學一直受到重視。柏拉圖的學園禁止不懂幾何學的人人內。按照他的說法，不會幾何學就不會正確的思考，而不會正確思考問題的人不過是行屍走肉。這就形成后來學習沒用的數學的辯護詞，你學的數學可能不直接有用，但它是訓練頭腦的體操。不過這個體操對許多學生還是太難了。那時教材也就是歐幾里得的《幾何原本》。許多學生學到第五個命題「等腰三角形兩底角相等」就過不去了，於是這個命題被稱為「驢橋」，也就是笨人難過的橋。不過，就算勉強過了，是否能變聰明也真的很難說。如果說，以前多學數學還無所謂，那麼，17世紀末近代科學的產生的確充分證明數學的威力。牛頓無愧是有史以來最偉大的科學家，他一手建立牛頓力學，另一手建立微積分，正是他在三百多年前把科學奉獻給文明社會。18世紀美國大詩人蒲柏這樣贊美：

自然及其規律浸沒在黑暗中，
上帝說．讓牛頓誕生。
於是，世界大放光明。

正是牛頓便科學和基於科學的技術推動了歷史，使它變成須臾不可離的東西。同時，他也給后人帶來不少麻煩。雖然你可以「師夷人之長技以制夷」，可是，那永遠走不遠，因為許多技術建立在科學基礎之上，不學科學難對技術有重大改進，而學科學又不能不學一整套數學，其中微積分只不過是基礎的基礎。而學數學又與學自然科學不同，總要從基礎學起。要想學微積分，首先要把算術、代數、幾何、三角、解析幾何學好，學計算機又要學離散數學，學經濟和金融又要學概率、統計等等。其實這些說到底都是二三百年前的數學了，不過，讓這些功課都進人中學的數學課，對於多數人來說，還真有些吃不消。

這就是為什麼數學成為現在壓在學生頭上的兩座大山之一（另一座是英語）。多學數學沒有壞處，問題是花了這麼大的力氣，究竟收獲幾何？真是可憐得很。多數人根本用不上他們所學的知識，也沒有掌握數學的思想方法，在理解新的數學時仍然感到十分困難。而更糟的是，許多學生失去學習數學的興趣。如果一個人覺得數學很重要，只是被動地硬着頭皮去學，肯定是事倍功半；可是，如果主動地、津津有味地學，也許會事半功倍。有沒有既能培養數學興趣，同時又能提高對數學理解力的道路呢？有！那就是學點數學史。

數學史所能告訴讀者的信息，大部分是其他數學書一般根本沒有的，甚至根本不具備的。一般數學書一上來就是定義、定理、證明，它們論述得非常嚴格，但是讀者一般感覺就是丈二和尚摸不着頭腦。數學討論的許多抽象概念，最難掌握的是研究的動機，也就是引人這些概念究竟干什麼，而這只能通過歷史才能看到它的來龍去脈。許多數學理論都是通過解決一個理論問題或一個實際問題在歷史長河中慢慢形成的。古希臘的三大幾何問題經過兩千多年才在19世紀得到完滿解決，並且形成伽羅瓦理論。歷史的流變總是幫助讀者認識到問題的難點以及數學上的偉大突破，可是教科書則很少告訴你，什麼是重要的，什麼是不重要的。只有懂得這些，才能說是懂得數學。一句話，數學史絕對有助於理解抽象難懂的數學。

其次，數學史不是拘泥於狹窄的學科領域，而是在更大的文化背景之下看數學的發展。這反映出數學與社會是緊密聯系在一起的，正因為如此，數學在各個領域中的應用也就是順理成章的事。文藝復興的巨匠們的繪畫之所以栩栩如生，正是由於他們掌握了透視的基本方法，這導致射影幾何學的誕生。大航海時代推動了地圖（海圖）繪制技術的發展，它反過來也推動了人們了解曲面的幾何學。同樣，工程畫也成為工程技術人員的通用語言。隨着客觀世界的不確定性的大量出現，概率相統計也應運而生。盡管概率論有着並不光彩的出身，但賭徒的問題畢竟使數學家建立起系統的理論，而且有越來越多的應用。說到底，物理科學是產生數學與應用數學最重要的領域，這從歷史上也可以體會到。我們現在司空見慣的事物，例如無線電波，都是解微分方程的產物，這些結果是如此深刻，超出一般人的理解，其原因就是它們是巨人的勞作，而這些巨人又是站在巨人的肩膀上。

數學的實質在於有一套提出問題和解決問題的普遍理論及方法。數學家人數現在不能說少，但作出巨大貢獻的天才也不算太多。數學史與通史一樣，首先推崇英雄，他們少說有二三十位，多說有四五十位，學數學史就是要從他們的身上學點東西。

塔巴克的一套五本數學史，最為適合有一般數學知識的讀者，它內容豐富、行文流暢、通俗易懂、生動有趣，如果能夠好好看看，對數學的理解必定會大有提高，而這種收益是讀多少教材、教輔，做多少題也達不到的。