什麽是數學：對思想和方法的基本研究(增訂版)

目 錄
什麽是數學
第1章 自然數
引言
§ 1 整數的計算
§ 2 數系的無限性 數學歸納法
第1章補充 數論
引言
§ 1 素數
§ 2 同余
§ 3 畢達哥拉斯數和費馬大定理
§ 4 歐幾里得輾轉相除法
第2章 數學中的數系
引言
§ 1 有理數
§ 2 不可公度線段 無理數和極限概念
§ 3 解析幾何概述
§ 4 無限的數學分析
§ 5 復數
§ 6 代數數和超越數
第2章補充 集合代數
第3章 幾何作圖 數域的代數
引言
第1部分 不可能性的證明和代數
§ 1 基本幾何作圖
§ 2 可作圖的數和數域
§ 3 三個不可解的希臘問題
第2部分 作圖的各種方法
§ 4 幾何變換 反演
§ 5 用其他工具作圖 只用圓規的馬歇羅尼作圖
§ 6 再談反演及其應用
第4章 射影幾何 公理體系 非歐幾里得幾何
§ 1 引言
§ 2 基本概念
§ 3 交比
§ 4 平行性和無窮遠
§ 5 應用
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作圖問題
§ 8 二次曲線和二次曲面
§ 9 公理體系和非歐幾何
附錄
高維空間中的幾何學
第5章 拓撲學
引言
§ 1 多面體的歐拉公式
§ 2 圖形的拓撲性質
§ 3 拓撲定理的其他例子
§ 4 曲面的拓撲分類
附錄
第6章 函數和極限
引言
§ 1 變量和函數
§ 2 極限
§ 3 連續趨近的極限
§ 4 連續性的精確定義
§ 5 有關連續函數的兩個基本定理
§ 6 布爾查諾定理的一些應用
第6章補充 極限和連續的一些例題
§ 1 極限的例題
§ 2 連續性的例題
第7章 極大與極小
引言
§ 1 初等幾何中的問題
§ 2 基本極值問題的一般原則
§ 3 駐點與微分學
§ 4 施瓦茨的三角形問題
§ 5 施泰納問題
§ 6 極值與不等式
§ 7 極值的存在性 狄里赫萊原理
§ 8 等周問題
§ 9 帶有邊界條件的極值問題 施泰納問題和等周問題之間的聯系
§ 10 變分法
§ 11 極小問題的實驗解法 肥皂膜實驗
第8章 微積分
引言
§ 1 積分
§ 2 導數
§ 3 微分法
§ 4 萊布尼茨的記號和「無窮小」
§ 5 微積分基本定理
§ 6 指數函數與對數函數
§ 7 微分方程
第8章補充
§ 1 原理方面的內容
§ 2 數量級
§ 3 無窮級數和無窮乘積
§ 4 用統計方法得到素數定理
第9章 最新進展
§ 1 產生素數的公式
§ 2 哥德巴赫猜想和孿生素數
§ 3 費馬大定理
§ 4 連續統假設
§ 5 集合論中的符號
§ 6 四色定理
§ 7 豪斯道夫維數和分形
§ 8 紐結
§ 9 力學中的一個問題
§ 10 施泰納問題
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非標准分析
附錄 補充說明 問題和習題
算術和代數
解析幾何
幾何作圖
射影幾何和非歐幾何
拓撲學
函數、極限和連續性
極大與極小
微積分
積分法
參考書目1
推薦閱讀（參考書目2）

《什麼是數學》這本書是一本數學經典名著，它收集了許多閃光的數學珍品。它的目標之一是反擊這樣的思想：「數學不是別的東西，而只是從定義和公理推導出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數學家根據他們的意志隨意創造。」簡言之，這本書想把真實的意義放回數學中去。但這是與物質現實非常不同的那種意義，數學對象的意義說的是「數學上「不加定義的對象」之間的相互關系以及它們所遵循的運算法則」。數學對象是什麼並不重要，重要的是做了什麼。這樣，數學就艱難地徘徊在現實與非現實之間；它的悒悒不存在於形式的抽象中，也不存在於具體的實物中，對喜歡梳理概念的哲學家，這可能是個問題，但卻是數學的巨大力量所在——我們稱它為，所謂的「非現實的現實性」，數學聯結了心靈感知的抽象世界和完全沒有生命的真實的物質世界。

我第一次見到《什麼是數學》這本書是在1963年，那時我正打算在劍橋大學謀求一席之地。這本書被推薦給未來數學專業的學生閱讀。沈指導今天，任何想以先進的觀點來看待大學數學的人，瀏覽這本書同樣有益。然而，你不必一個像嶄露頭角的數學家一樣要從柯朗和羅賓的代表作中得到大量的信息和深刻的洞察。尼科西完全根據自己在數學方面的興趣，基於你已有的數學背景知識，選取一部分內容進行舒心愉快的閱讀。中學代數，初等微積分，以及三角函數，再加上一點歐氏幾何的幫助，有了這些方面的知識就足夠了。

人們可能認為一本最后版本幾乎是在50年前出版的書是過時的了——它的術語已經陳舊，它的觀點已與現代的形式不符了；但事實上，《什麼是數學》這本書寫得相當好，它所親自的解決問題的方法至今仍有效，它所選取的數學材料如此之好以至於沒有一個單詞或符合必須在新版中刪去。

假如你認為這是因為數學從來沒有什麼改變，那麼我請你去關注一下新增的一章「最新發展」，大將向你展示數學的改變是多麼迅速。這本書寫得好，是因為盡管數學一直在發展，但書中選取的、有關歷史上的著名發現的專題，都是很難拋棄的。對訂立，你不可能不加以證明。事實上，你可能偶然間發現一個倡棋杯接受的論證是錯誤的——這曾經發生過的。但這只表明，從一開始證明就是錯誤的，然新的觀點通常會導致舊的論證過時，或對舊的事實不再感興趣。《什麼是數學》這本書沒有過時，是因為所選取的材料展示出了無限完美的數學品位。

正規的數學就像拼寫和語法一樣，是一種對約定規則的正確應用。有異議的數學就像用來講述有興故事的報紙雜志；但不像某些報紙雜志，它的故事必須是真實的，最好的數學就應該像文學作品——故事來源於你眼前活生生的生活，致使你把精力與感情投於其中。就數學來說，《什麼是數學》這本書是一部才華橫溢的作品，新增的一章的主要目的是要把柯朗與羅賓所講的故事延續到今天，例如，闡述了四色問題和費馬大定理的證明，這些是在柯朗和羅賓寫書時尚未解決的主要問題。現在它們已經被證明了，我發現了一個真實的數學上的詭辯（見第九章「最新進展」），我認為相關的這個特別的內容其觀點已經變化了。柯朗和羅賓的論證，包括他們用的假設，是正確的。但是，那些假設不再像他們所做的那麼合理了。

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