本書系統地論述了微分幾何的基本知識。全書共八章並兩個附錄。作者以較大的篇幅,即前三章和第六章介紹了流形、多重線性函數、向量場、外微分、李群和活動標架法等基本知識和工具。在有了上述寬廣而堅實的基礎之後,論述微分幾何的核心問題,即聯絡、黎曼幾何以及曲面論等。第七章復流形,既是當前十分活躍的研究領域,也是第一作者研究成果卓著的領域之一,包含有作者獨到的見解和簡捷的方法。第八章Finsler幾何是本書第二版新增的一章,它是第一作者近來提倡的研究課題,其中Chefn聯絡具有突出的性質,使得黎曼幾何成為Finsler幾何的特殊情形。最後兩個附錄,介紹了大范圍曲線論和曲面論,以及對微分幾何與理論物理關系的論述,為這兩個活躍的前沿領域提出了不少進一步的研究課題。
此書可作為高等院校數學和理論物理等專業高年級、研究生選修課和研究生課教材,或學習參考書,也可供從事數學和物理等相關學科研究人員參考。
目錄
第一章 微分流形
1 微分流形的定義
2 切空間
3 子流形
4 Frobenius定理
第二章 多重線性代數
1 張量積
2 張量
3 外代數
第三章 外微分
1 張量叢
2 外微分
3 外微分式的積分
4 Stokes公式
第四章 聯絡
1 矢量叢上的聯絡
2 仿射聯絡
3 標架叢上的聯絡
第五章 黎曼流形
1 黎曼幾何的基本定理
2 測地法坐標
3 截面曲率
4 Gauss—Bonnet定理
第六章 李群和活動標架法
1 李群
2 李氏變換群
3 活動標架法
4 曲面論
第七章 復流形
1 復流形
2 矢量空間上的復結構
3 近復流形
4 復矢量叢上的聯絡
5 Hermite流形和Kahler流形
第八章 FinsJer幾何
1 引言
2 射影化切叢PTM的幾何與Hilbert
3 Chern聯絡
3.1 聯絡的確定
3.2 Cartan張量與黎曼幾何的特征
3.3 聯絡形式在局部坐標系下的表達式
4 結構方程和旗曲率
4.1 曲率張量
4.2 旗曲率和Ricci曲率
4.3 特殊的Finsler空間
5 弧長的第一變分公式和測地線
6 弧長的第二變分公式和Jacobi場
┅┅
附錄一 歐氏空間中的曲線和曲面
附錄二 微分幾何與理論物理
參考文獻
索引
1 微分流形的定義
2 切空間
3 子流形
4 Frobenius定理
第二章 多重線性代數
1 張量積
2 張量
3 外代數
第三章 外微分
1 張量叢
2 外微分
3 外微分式的積分
4 Stokes公式
第四章 聯絡
1 矢量叢上的聯絡
2 仿射聯絡
3 標架叢上的聯絡
第五章 黎曼流形
1 黎曼幾何的基本定理
2 測地法坐標
3 截面曲率
4 Gauss—Bonnet定理
第六章 李群和活動標架法
1 李群
2 李氏變換群
3 活動標架法
4 曲面論
第七章 復流形
1 復流形
2 矢量空間上的復結構
3 近復流形
4 復矢量叢上的聯絡
5 Hermite流形和Kahler流形
第八章 FinsJer幾何
1 引言
2 射影化切叢PTM的幾何與Hilbert
3 Chern聯絡
3.1 聯絡的確定
3.2 Cartan張量與黎曼幾何的特征
3.3 聯絡形式在局部坐標系下的表達式
4 結構方程和旗曲率
4.1 曲率張量
4.2 旗曲率和Ricci曲率
4.3 特殊的Finsler空間
5 弧長的第一變分公式和測地線
6 弧長的第二變分公式和Jacobi場
┅┅
附錄一 歐氏空間中的曲線和曲面
附錄二 微分幾何與理論物理
參考文獻
索引
序
本版與初版不同處是增添了第八章Finsler幾何。這其實是1854年Riemann原來的提議。他試了四次微分式的四次根,發現計算很繁,便限於二次微分式,即現在熟知的黎曼幾何。
近百年來,黎曼幾何是策分幾何的主要內容,發展廣泛。自然有推廣的需要。
我想,最自然的推廣回到Riemann原來的定義,現在叫做「Finsler幾何」。這就是變分學,幾百年來都是數學的中心課題。
Finsler的論文發表在1918年。第一步研究是Finsler幾何的局部性質。這並不簡單:Riemann沒有做,而Cartan的聯絡堅持了內積不變的性質,因之陷入復雜的計算。本版書中引進了我於1948年所定的聯絡。我想,這是Finsler幾何的適當工具,值得費點時間去了解。
近百年來,黎曼幾何是策分幾何的主要內容,發展廣泛。自然有推廣的需要。
我想,最自然的推廣回到Riemann原來的定義,現在叫做「Finsler幾何」。這就是變分學,幾百年來都是數學的中心課題。
Finsler的論文發表在1918年。第一步研究是Finsler幾何的局部性質。這並不簡單:Riemann沒有做,而Cartan的聯絡堅持了內積不變的性質,因之陷入復雜的計算。本版書中引進了我於1948年所定的聯絡。我想,這是Finsler幾何的適當工具,值得費點時間去了解。
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