黎曼幾何選講

第一章 Hodge理論
參考文獻
第二章 和樂群
1 基本概念及結果
2 Berger分類定理及其影響
3 和樂群的實現問題
4 和樂群的新發展
附錄 de Rham分解定理
參考文獻
第三章 非緊非負曲率流形的結構
參考文獻
第四章 Gauss-Bonnet定理
參考文獻
第五章 黎曼流形的收斂性
參考文獻
索引
人名索引

在1985年夏天，我有幸在北京大學講了近一個月的課。這本書是根據這個課的講義編寫而成的。

粗略地說，第三、四、五這三章基本上就是我當時的講稿。但是單從第一、二章的長短，讀者就立刻可以看到這兩章的材料遠遠不是在一、兩個月內所能講完的。第一章所討論的Hodge理論，當時因為時間所限，我沒法將主要定理的證明解釋詳盡。回到美國後，我對這個證明進行了仔細加工，現在讀起來就比較完整了。但是改動得最厲害的是第二章(和樂群)。這一章是我花了相當多時間完全重寫的。這是書內最長的一章，同時也可以說是這本書最重要的一章。在這一章內我有機會向讀者介紹一下和樂群理論在過去五十年來的歷史。多多少少這也反映了幾何學本身在過去五十年來的進展。在闡述這段歷史的過程中，我向讀者介紹了幾何學內相當多的基本理論(對稱空間，殆復流形，Kfihler幾何，等等)。希望有了這個歷史背景，讀者會對這些似乎互不相關的題目有加深的了解。同時我也希望讀者能夠在這一章內找到一些在別的地方找不到的資料。

對于這本書的內容，我想再加兩個按語。首先，第一章可以說是幾何學內線性分析的一個初步介紹。我故意不用廣義函數或傅里葉級數，而只用Sobolev空問來給︰Hodge定理作一個完備的初等證明。這是一個嘗試。雖然在某些地方這個證明變得略為累贅，但是利害相比之下，我還是覺得值得這樣做。其次，在挑選書內這五個不同的題目時，我沒有想到這些題目之間是否有任何聯系的問題。而事實上是有的。例如，de Rham分解定理在第二、三章內都佔有一個重要的位置。又例如Gauss—Bonnet定理不但是第四章的題目，而且在第一章內也很自然地出現了。所以將這五章收集而成書，倒是順理成章了。

我很幸運有陳維桓同志將我的初稿整理一遍才付印。從他的來信所提出的很多問題，使我立刻知道這本書的可讀性是會經過他的努力而大大提高的。他改掉了原稿內很多的小錯漏，將有些證明的鋪敘方式合理化，改善了很多生硬的句子，同時也負起了定稿和付印方面的所有責任。我非常感謝他對這本書的貢獻。

這是一本選講，而不是一本初等的讀物。所以，一方面，在編寫時我沒有受到一定要介紹所有必需介紹的題目的壓力。事實上目前微分幾何是一門很大的學問。在五十年前，數學家們基本上已放棄了作數學界全才的希望，因為在那時數學本身已發展得太快，而且包含的內容已太廣。時至今日，是否有一個幾何學家敢自稱幾何學全才實在是很成疑問。所以選講就是清楚地說明，我只想挑幾個有意思的題目向讀者作一個小介紹。另一方面，如果時間和學識容許我這樣做，我是很希望利用選講，來向讀者作一個幾何學上非線性分析的入門性講述的。很遺憾我不能這樣做。目前好像還沒有這方面的一本好書。讀者如果有興趣，則只好自己去讀原來的文獻。

這本書的另一個特點就是比較注重技巧性以外的全面觀點，而忽略定理本身詳細的證明。並不是說這本書沒有證明任何一條定理。相反地，很多容易被初學者忽略的小地方，我是特別加工說得詳盡的(例如第三章內定理l的證明)。但是對比之下，書內被證明的定理，是遠比書內所提及而沒有證明的定理來得少。這里所牽涉到的一個想法就是，一個初學者到了某個階段，了解怎樣去用一條定理有時是遠比懂得怎樣證明這條定理來得重要。我有一個感覺，就是國內的數學教育有時過分注重證明內每一步的邏輯性，而忽略了很多其它同樣重要的問題。例如︰從直觀上去理解為什麼這條定理是正確的?為什麼這條定理是重要的?為什麼需要這條定理?這條定理的要點在哪里?正因為這本書少給證明，所以我才有機會對這種問題作一個粗淺的討論。也許這是對目前數學教育的一個小貢獻。