推薦序１
數學成熟度的指標：哥德爾不完備定理
本書是結城浩《數學女孩》三部曲中的最後一部，主題是「哥德爾不完備定理」，儘管它完成於二十世紀上半葉的1931年，但卻是數理邏輯學（mathematical logic）與數學基礎（foundations of mathematics）研究的封頂之作。
在《數學女孩》的第一部曲（台譯書名《數學少女》）中，作者將基本且深刻的數學知識，簡化到一般高中生可以了解的程度，足以顯示他不只受過非常嚴格的數學訓練，因而對於數學思維的掌握非常得心應手，同時，也對如何普及他的數學經驗深具信心。不過，更值得注意的，正如結城浩在《數學女孩──費馬最後定理》（第二部曲）所呈現，他總是適時地從高觀點來歸納或提示一些數學（抽象）結構，讓讀者不至於迷失在徒然解題的迷魂陣中，而無法自拔。此外，他在這三部曲的「旅行地圖」中所進行的連結與對比，也一再地提醒我們數學是一個「有機的整體」；因此，數學史上的一些重大突破，往往需要「跨界」的思維。
另一方面，從小說敘事的觀點來看，作者在這三部曲所採取的「比喻」，都是高中男生對於數學世界vs.感情世界的一種未來憧憬：「我對數學的『憧憬』──和男孩對女孩抱持的情感在某些地方有點相似」。因此，在本書中，數學作為一種文學比喻就出現的另類風貌，值得數學小說的愛好者特別注意。
現在，我們針對這三部曲所處理的主題，提供一點簡要的說明，俾便讀者閱讀時有所參考與借鑒。《數學少女》的主題是生成函數，作者的連結與跨界分享，相當令人感動：「我和米爾迦使用生成函數求得斐波那契數列一般項，就像原本捧在手上快要散落的數列，被名為生成函數的一條線串起來，那真是一次難以言喻的經驗」。此外，他還利用生成函數處理褶積與分拆數等問題，甚至還提及黎曼 函數，尤其是
與歐拉發現平方倒數無窮和之公式的關係。在該書中，生成函數是一種概念工具，它大大地有助於我們解決許多數學問題，離散型或連續型都包括在內。
這種主題式的敘事，到了《數學女孩──費馬最後定理》與《數學女孩──哥德爾不完備定理》，就變成了偉大的定理。顧名思義，《數學女孩──費馬最後定理》的主題就是費馬最後定理。作者在該書中，為了讓讀者多少掌握有關此一偉大證明的定理，特別提供了一個概略的說明。基於此，他還進一步介紹橢圓函數、模曲線與自守形式。最後，懷爾斯（Andrew
Wiles）在橢圓曲線與自守形式之間成功地搭起一座橋樑，而完成了費馬最後定理的證明。由於這些相關數學知識都極其抽象，一般讀者難以「一睹芳澤」。因此，作者的「旅行地圖」仿效效似網路「超連結」資訊的手法，鼓吹讀者進行形式推理，即使無從理解個別命題（或定理）之內容為何。而這，當然也呼應了這三部曲所強調的數學知識的結構面向（structural aspects）意義。
顯然，在第二部曲中，結城浩無法邀請（也不期待！）讀者參與費馬最後定理的證明過程，這一形同登天的任務，當然受限於目前數學教育與普及水準的力有未逮。相形之下，在這三部曲的終曲中，結城浩的野心卻是哥德爾不完備定理之解說。這個普及的願景並非不可企及，因為作者所訴求的正是讀者的數學成熟度。這種成熟度與高等數學的背景知識並不具有必然關係，因此，集合論、數理邏輯以及數學基礎等數學分支之學習，通常只要預設高中數學背景知識即可。事實上，這幾門學問在二十世紀下半葉，也一直吸引英美兩國哲學家的興趣。基於此一考量，在本書中，作者就使盡了渾身解數，希望讀者分享他對不完備定理的理解。
總之，不完備定理之證明所涉及的形式系統（formal system）之相容與不完備之相關固然有其難度，但是，對於充滿好奇心的讀者來說，這卻是可以親近的一個智力遊戲或挑戰。任何人（無論有無高等數學之經驗）想要測試數學思維的成熟度，本書的形式證明正是最好的指標。更何況，如果不深入探討此一定理，那麼，物理學家歐本海默（Robert
Oppenheimer）如何稱頌不完備定理為「理性的極限」，我們大概就不知從何說起了。
台灣師範大學數學系退休教授 洪萬生
推薦序２
一部令人驚豔的作品！
繼《數學少女》（2008年青文出版）、《數學女孩──費馬最後定理》（2011年世茂出版），結城浩這一系列作的第三部《數學女孩──哥德爾不完備定理》又是一部令人驚豔的作品。
市面上的數學科普書很多，有的作者為了照顧讀者的背景知識而不敢談得太深：有的作者則是只顧自己想寫的內容而一路狂飆，卻將讀者留在原地一臉茫然。結城浩成功地突破了這兩難的困境：他將主題「哥德爾不完備定理」談論得非常深入，讓我很驚訝竟然有數學科普書的作者敢有如此大的企圖；但他也不是莽夫，而是極富策略性地一步一步帶著讀者往目標靠近。要做到這一點絕非易事，我很難想像一個人怎能擁有如此深厚的數學底子、廣泛的數學知識，以及靈巧的文字功力，但結城浩就是這樣厲害的一個人。
當然，偉大的數學成果不可能僅靠一本書就能讓讀者在短時間之內完全掌握，即使是身為數學科教師的我，也難以吸收最後一章的內容，但這就是作者的體貼，在堅持目標的前提下，盡量讓讀者不會因為題材本質上的艱澀而提早放棄。
我相信無論你是一般的數學學習者，或是專業的數學研究人員，都一定能從這本作品中得到收穫，也都會喜歡這本書。
北一女中數學老師&國際數學奧林匹亞競賽金牌獎得主 王嘉慶
推薦序３
一本引人入勝的數學小說
本書是日本暢銷科普作家結城浩繼《數學少女》、《數學女孩──費瑪最後定理》之後的第三力作，相信看過前兩本的讀者們一定迫不急待的想要一窺結城浩的新作品，並加以典藏，而成為家中小孩上高中時必讀的數學科普。本書《數學女孩──哥德爾不完備定理》，如同前兩本一樣，透過四位個性鮮明的國、高中生之間的日常有趣對話，來展開數學問題與解題，進而讓讀者對數學自然而然的理解並產生興趣。然而，結城浩在本書中不僅透過角色仔細完整的論述相關數學知識外，並以完成介紹哥德爾不完備定理為最終目標，他雄心萬丈般的哲學企圖，提昇了本書的高度格局。
數學符號及其公式都是高度抽象概念。也正因如此，理工領域常令許多人難以捉摸和把握，甚至覺得晦深莫測，單單是要記住（更不用說是理解）這些符號表示什麼，就是很大的挑戰了。然而，本書不是一般傳統的數學課本，結城浩透過中學生之間的對話，來漸漸鋪陳出數學概念，以有趣生活化的方式來進行數學知識的討論，更難得的是本是數學專業的作者，卻能以生動的文筆及貼近生活的例子來闡述數學的概念及解題流程。娓娓道來，親切詳實，沒有一般通俗讀物僅是淺嘗為止而產生一知半解的窘境。此外，本書有很多內容甚至比一般的數學教科書解說的更為詳細，如：第4章──無止境地接近的目標地點、第6章──極限分析論證法、第9章──疑惑的螺旋梯，關於極限和三角函數的分析與說明，講得簡單、明白且易懂，可作為一般教科書的補充讀物，而一般讀者亦可先參閱這幾個章節，來感受結城浩的功力──「就是要讓你懂」！
現今為知識訊息大爆炸的時代，每一個人，除了學習傳統的知識技能外，還要不斷的吸收與我們生活相關的各種知識，但它們總是瞬時萬變，有限的生命總是趕不上無限的變化。但在某些領域（如：數學或音樂），可能讓我們有機會駐留在永恆之美的饗宴中。數學對許多人（包括個人）而言，似乎有共同夢魅般的經驗：抽象、艱澀、難懂、吃不下去……。但若過去中、小學數學課本，可以寫的像結城浩一樣的話，那數學就像是一種遊戲、一種日常生活中的有趣對話、更彷彿像是一種讓人進入一種美麗抽象符號結構中的奇幻之旅。結城浩在最終章「哥德爾不完備定理」以四季節候的時序和植物生長的歷程等譬喻，來一步一步建構不完備定理的證明及詮釋其意義，以極富想像力的方式向世人介紹邏輯體系上的不完備。
因限於個人領域之狹窄，關於數學與邏輯的專有名詞能與台灣現行的用法有所一致，而讓一般讀者因熟悉而更容易理解。在數學上的專有名詞是由台師大數學系周文翔來做全面的校正，而第7章和第10章則請蒲世豪博士訂正有關的邏輯專有名詞。
有機會讀到一本好書會讓人心曠神怡、視野開闊，變得耳聰目明。但從小到大的我們看了不少數學教材，捫心自問我們記得、懂得多少，現今可能大多忘得一乾二淨。然而，看結城浩的數學書，除了讓人賞心悅目、幽遊自得外，無論你∕妳懂或不懂，都會讓你∕妳永生難忘。而這，當然也是我極力推薦本書的主要原因。
台灣師範通識教育中心副教授 王銀國
給讀者
本書中出現有各式各樣的數學問題，從簡單的到小學生都懂得的部分，甚至困難到會嚴重動搖整個數學界的世紀難題都有。
除了使用語言及圖示來表現故事主角們的思考脈絡之外，另也會使用到數學公式來做表達。
每當遇有無法理解的數學公式涵義時，請不妨先跳過卡住的數學公式，暫且隨著故事的情節發展往下走。劇中人物蒂蒂和由梨會陪伴著你一起往前走。
而對數學充滿自信的讀者們，在享受故事情節之餘，也不要忘了動動腦挑戰書中的數學公式哦！如此一來，你將可以進一步體驗到隱藏在故事裡的其他趣味。
或許，聰敏的你能超越那些數學天才們，探索出不為人知的祕密噢！
