奇妙的數學摺紙（第1冊）

一張正方形紙片，經過十指點化變成了飛鳥、青蛙或是小船的樣子。折紙，像魔術般變幻多端。折紙不但是成年人對兒時的一份美好回憶，而且是青少年拓展思維、增長技能的好幫手。《奇妙的數學折紙》一書從數學角度更深刻地揭示出折紙的魅力。

數 學折紙是一種與數學科學緊密結合的折紙活動,其與普通折紙的主要區別在於:不特別關注作品的藝術性,而重在揭示或詮釋數學概念。數學折紙中產生的圖形結構 被廣泛地應用於日常生活之中,例如,衛星太陽能電池板的展開結構、供乘客上下飛機的登機橋、機械設備的連杆和吊臂、服裝設計中的立體裁剪等,都運用了數學 折紙的折疊規則。可見，數學家眼中的折紙是充滿了數理的。難怪折紙數理學、折紙工學、折紙幾何學等正如雨後春筍般冒出來。讓我們姑且把這些折紙的新形態歸 為數學折紙。

關於折紙的起源,眾說紛紜,莫衷一是。有人認為它起源於紙的故鄉中國,盛唐時期折紙藝術已在中國流行起來。同時,中國也是較 早將折紙納入教育體系的國家。清代光緒末年,由學部編纂的《初等小學手工授課書》中就包括折紙的內容。而現代折紙則通常被認為源於日本,折紙的英文 origami即來源於日文折紙的羅馬拼音,而origamics一詞的出現,則標誌著折紙數理學的形成。

數學折紙的過程是充滿了創新思維的過程，是從平面到立體，從具象到抽象的過程。在折紙中各種自鎖效果就是對木工榫卯結構的創造性變形和借用。在爬升陀螺中，燕尾之間的卡扣則是更加直白的榫卯結構。

數學折紙還是一項STEM的活動，許多領域的科學家們從折紙中汲取知識和營養。數學考題喜歡用折紙題材來命題；材料科學家、工程人員有時會先做紙模型來嘗試驗證理論。

數 學折紙能培養一個人的觀察力和想像力，給人方向感，讓人在縱橫交錯的折痕間遊走而不迷失方向。例如，當我們用紙折的七巧板拼出右圖的圖形時，觀者就有了不 同的解讀。是跌倒的人呢還是吐泡泡的金魚？而立體的折疊則可以從多角度審視，產生多種聯想。數學折紙充滿了趣味性和挑戰性。數學折紙看似簡單,做起來卻很 難,充滿了意外的發現,且大多屬於非常規問題。通過學習者的親自參與,形成直觀的有形折紙模型,使得各種數學原理躍然“紙”上,讓枯燥的數學學習變得有趣 起來,便於學習者理解抽象的概念。書中的正四面體和八面體，抑或截半八面體（賴氏卡球），平時這些立體的模型難得一見。在數學折紙中卻信手拈來，毫不費 力。這為孩子們以後學習立體幾何打下一個直觀的感性認識基礎。魔幻的六邊形（常氏坍縮盒）讓我們從中瞭解雙穩態結構的神奇現象以及填充空間的含義。蝸牛背 上的螺旋線符合數學的對數螺旋線公式。折出蝸牛殼就等於折出了對數螺旋曲線。

數學折紙還可以考察瞭解數學的歷史。鱉臑就來自數學史典籍《九章算術》，其中的第五章商功中一段令人費解的文言文：“邪解立方，得兩塹堵；邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”經過折疊，本書鱉臑篇中就剖析了陽馬是什麼，怎麼得到陽馬。

數學折紙還有益於培養一個人的良好性格。因為折紙能培養一個人的細心和耐心。當一個人能靜靜地擺弄一張紙，反復揣摩試錯，最後得到想要的成果，其間的心理歷練也有助於良好性格的培養。

數 學折紙活動的奧秘在於思考,在於體驗,在於創造。用一張小小的紙片,通過折疊活動,探討其中的數學原理與規律,對學生來說是一件快樂的事,可以體會到學習 的愉快、創造的樂趣以及數學的魅力,培養發現問題、分析問題和解決問題的綜合能力,而這正是我們平常的數學教育中所缺少的,也是我們當前教育改革所迫切需 要的。在我國,折紙中的數學問題也已經引起不少數學教師與數學教育研究人員的關注,在各自的教學實踐中作了一些嘗試。目前,折紙作為一種教具,已經走進了 學校的課堂,成為數學教學的重要資源,在初中和高中設計開發基於折紙的數學活動課程,以激發學生的學習興趣、學習動機和學習熱情,消除學生對數學的畏難情 緒。
折紙模型教學,作為一種教學形式的嘗試和教學手段的探索,目前尚處於起步階段,還需進一步摸索、改進和完善,期待這種新的教學方法能在數學教學中充分發揮積極作用。

希望本書中這十個作品能起到抛磚引玉的作用，讓青少年或喜歡折紙的讀者可以開拓思維，發揮想像，進而關注數學折紙，愛上數學折紙。
 
常文武
2019年5月