高等數學及其應用(上)

第1章 函數與極限 1
1.1 映射與函數 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 函數 2
1.1.3 基本初等函數 3
1.2 函數的幾種特性 5
1.2.1 有界性 5
1.2.2 單調性 6
1.2.3 奇偶性 7
1.2.4 週期性 7
1.3 函數的運算 9
1.3.1 函數的四則運算 9
1.3.2 複合函數 10
1.3.3 反函數 12
1.3.4 初等函數 13
1.4 數列的極限 14
1.4.1 數列極限的定義 14
1.4.2 收斂數列的性質 16
1.4.3 數列收斂的判別法 17
1.4.4 子數列 19
1.5 函數的極限 21
1.5.1 當x→∞時函數f(x)的極限 21
1.5.2 當x→x0時函數f(x)的極限 23
1.6 函數極限的性質和運算法則 26
1.6.1 函數極限的性質 26
1.6.2 極限的運算法則 27
1.6.3 函數極限與數列極限的關係 30
1.6.4 兩個重要極限 30
1.7 無窮小與無窮大 34
1.7.1 無窮小 34
1.7.2 無窮大 35
1.7.3 無窮小的比較 36
1.8 函數的連續性 39
1.8.1 連續概念 39
1.8.2 連續函數的性質 41
1.8.3 函數的間斷點及其分類 43
1.9 閉區間上連續函數的性質 45
1.9.1 最值定理 46
1.9.2 介值定理 46
總習題1 48
實驗1 一元函數的繪圖與極限的計算 50
參考答案 56
第2章 導數與微分 60
2.1 導數概念 60
2.1.1 引例及定義 60
2.1.2 求導舉例 62
2.1.3 導數的幾何意義 65
2.1.4 可導性與連續性之間的關係 65
2.2 求導法則 68
2.2.1 四則求導法則 68
2.2.2 反函數的求導法則 70
2.2.3 複合函數的求導法則 71
2.2.4 基本求導公式 73
2.3 高階導數 75
2.4 隱函數及參數方程所確定的函數的導數 78
2.4.1 隱函數的導數 78
2.4.2 參數方程所確定的函數的導數 81
2.4.3 相關變化率 83
2.5 函數的微分 85
2.5.1 微分的概念 85
2.5.2 微分公式與微分法則 87
2.5.3 微分在近似計算中的應用 89
總習題2 91
實驗2 導數與微分 93
參考答案 96
第3章 微分中值定理與導數的應用 100
3.1 微分中值定理 100
3.1.1 羅爾中值定理 100
3.1.2 拉格朗日中值定理 102
3.1.3 柯西中值定理 104
3.2 洛必達法則 107
3.3 泰勒公式 113
3.4 函數的單調性與極值 118
3.4.1 函數的單調性 118
3.4.2 函數的極值 120
3.5 函數的最值及其應用 125
3.6 曲線的凹凸性及拐點 128
3.7 函數圖形的描繪 132
3.7.1 曲線的漸近線 132
3.7.2 函數圖形的描繪 134
3.8 曲率 136
3.8.1 弧微分 136
3.8.2 曲率 137
3.8.3 曲率圓與曲率半徑 139
總習題3 140
實驗3 導數的應用 142
參考答案 144
第4章 不定積分 148
4.1 不定積分的概念與性質 148
4.1.1 原函數與不定積分 148
4.1.2 不定積分的性質 151
4.1.3 基本積分公式 151
4.1.4 直接積分法 152
4.2 換元積分法 154
4.2.1 第一類換元法 155
4.2.2 第二類換元法 161
4.3 分部積分法 167
4.4 有理函數和可化為有理函數的積分 171
4.4.1 有理函數的積分 171
4.4.2 三角函數有理式的積分 174
4.4.3 簡單無理函數的積分 176
4.4.4 積分表的使用 177
總習題4 178
實驗4 不定積分 179
參考答案 181
第5章 定積分及其應用 185
5.1 定積分的概念與性質 185
5.1.1 定積分問題舉例 185
5.1.2 定積分定義 187
5.1.3 定積分的性質 189
5.2 微積分基本公式 193
5.2.1 位置函數與速度函數的聯繫 193
5.2.2 積分上限的函數及其導數 193
5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 196
5.3 定積分的換元法與分部積分法 199
5.3.1 定積分的換元法 200
5.3.2 定積分的分部積分法 203
5.4 反常積分 207
5.4.1 無窮限的反常積分 207
5.4.2 無界函數的反常積分 209
5.4.3 Γ函數 211
5.5 平面圖形的面積 213
5.5.1 定積分的元素法 213
5.5.2 平面圖形的面積 215
5.6 立體的體積 219
5.6.1 旋轉體的體積 219
5.6.2 平行截面面積為已知的立體的體積 222
5.7 平面曲線的弧長與旋轉曲面的面積 224
5.7.1 平面曲線的弧長 224
5.7.2 旋轉曲面的面積 227
5.8 定積分在物理學上的應用 229
5.8.1 變力沿直線所做的功 229
5.8.2 壓力 230
5.8.3 引力 231
5.9 數值積分 233
5.9.1 矩形法與梯形法 233
5.9.2 抛物線法 236
總習題5 239
實驗5 定積分及其應用 241
參考答案 245
第6章 空間解析幾何 250
6.1 空間直角坐標系 250
6.1.1 定義 250
6.1.2 空間點的直角坐標 251
6.1.3 兩點間的距離和中點座標公式 251
6.2 向量及其線性運算 253
6.2.1 向量的基本概念 253
6.2.2 向量的線性運算 254
6.2.3 向量的分解、方向角、投影 255
6.3 數量積向量積混合積 258
6.3.1 兩向量的數量積 258
6.3.2 兩向量的向量積 260
6.3.3 三向量的混合積 262
6.4 曲面及其方程 264
6.4.1 曲面方程的概念 264
6.4.2 旋轉曲面 265
6.4.3 柱面 266
6.4.4 二次曲面 267
6.5 平面及其方程 270
6.5.1 平面方程的幾種形式 270
6.5.2 兩平面的夾角 272
6.5.3 點到平面的距離 273
6.6 空間曲線及其方程 275
6.6.1 空間曲線的一般方程 275
6.6.2 空間曲線的參數方程 275
6.6.3 空間曲線在座標面上的投影 277
6.7 空間直線及其方程 279
6.7.1 空間直線方程的幾種形式 279
6.7.2 兩直線的夾角 281
6.7.3 直線與平面的夾角 282
6.7.4 平面束 283
總習題6 284
實驗6 三維圖形的繪製 286
參考答案 289
附錄A 二階和三階行列式簡介 292
附錄B 常用的曲線與曲面 295
附錄C 積分表 300