復變函數與積分變換

第1章 復數與復變函數

1.1復數及其四則運算

1.1.1復數的概念

1.1.2復數的四則運算

1.2復數的幾何表示

1.2.1復數的點表示

1.2.2復數的向量表示

1.2.3復數的三角表示與指數表示

1.3復數的乘冪與方根

1.3.1復數的乘積與商

1.3.2復數的乘冪與方根

1.4平面點集的一般概念

1.4.1平面點集

1.4.2平面曲線

1.5復變函數的概念、極限與連續性

1.5.1復變函數的定義

1.5.2復變函數的極限

1.5.3復變函數的連續性

1.6復球面與無窮遠點

小結

習題一

第2章 解析函數

2.1解析函數的概念

2.1.1復變函數的導數

2.1.2解析函數的概念

2.2函數解析的充要條件

2.3初等函數

2.3.1指數函數

2.3.2對數函數

2.3.3冪函數

2.3.4三角函數

*2.3.5反三角函數

小結

習題二

第3章 復變函數的積分

3.1復變函數積分的概念與性質

3.1.1有向曲線

3.1.2復變函數積分的概念

3.1.3復變函數積分存在條件

3.1.4復變函數積分的計算——參數方程法

3.1.5復變函數積分的基本性質

3.2柯西?古薩定理與復合閉路定理

3.2.1柯西?古薩定理

3.2.2復合閉路定理

3.3原函數與不定積分

3.3.1變上限積分

3.3.2原函數與不定積分

3.4柯西積分公式

3.5解析函數的高階導數

3.6解析函數與調和函數的關系

小結

習題三

第4章 級數

4.1復數項級數

4.1.1復數列的極限

4.1.2復數項級數

4.2冪級數

4.2.1函數項級數與冪級數的概念

4.2.2收斂圓和收斂半徑

4.2.3收斂半徑的求法

4.2.4冪級數的運算及性質

4.3泰勒級數

4.3.1泰勒定理

4.3.2將函數展開成泰勒級數

4.4洛朗級數

4.4.1雙邊冪級數

4.4.2解析函數的洛朗展開式

4.4.3將函數展開成洛朗級數

小結

習題四

第5章 留數

5.1孤立奇點

5.1.1孤立奇點的定義及其分類

5.1.2孤立奇點的判定

5.1.3無窮遠點

5.2留數

5.2.1留數的概念

5.2.2留數的計算

5.2.3函數在無窮遠點處的留數

5.3留數在積分上的應用

5.3.1形如∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ的積分

5.3.2形如∫+∞－∞R(x)dx的積分

5.3.3形如∫+∞－∞R(x)eaixdx(a＞0)的積分

小結

習題五

第6章 傅里葉變換

6.1傅里葉變換的概念

6.1.1傅里葉級數

6.1.2傅里葉級數的指數形式

6.1.3傅里葉積分公式與傅里葉變換

6.2單位脈沖函數及其傅里葉變換

6.2.1單位脈沖函數的概念

6.2.2單位脈沖函數的性質

6.3傅里葉變換的性質

6.3.1基本性質

6.3.2卷積

小結

習題六

第7章 拉普拉斯變換

7.1拉普拉斯變換的概念

7.1.1拉普拉斯變換的定義

7.1.2拉普拉斯變換的性質

7.2拉普拉斯逆變換

7.3拉普拉斯變換的應用

7.3.1解常微分方程

7.3.2解常微分方程組

7.3.3綜合應用

小結

習題七

第8章 MATLAB在復變函數與積分變換中的應用

8.1復數及其矩陣生成的命令

8.2復數的運算

8.3復變函數的積分

8.4泰勒級數展開

8.5留數計算

8.6傅里葉變換及其逆變換

8.7拉普拉斯變換及其逆變換

習題答案

參考文獻

在科學技術高度融合發展的今天，復變函數與積分變換已經廣泛應用於自然科學的眾多領域，如控制工程、理論物理、電子工程、流體力學等。復變函數與積分變換是高等院校理工科學生必備的數學基礎知識。

本書作者參照教育部關於普通應用型本科院校的基本要求，本着國家高等院校教育教學改革的精神，根據本科院校應用型人才培養需求的實際情況，特編寫此書。