自然科學基礎

第1章　小波綜述：內容、原因、方式　　1
1.1　時頻局部化　1
1.2　小波變換：與加窗傅里葉變換的相似與不同　2
1.3　不同類型的小波變換　6
1.3.1　連續小波變換　6
1.3.2　離散但冗余的小波變換框架　7
1.3.3　正交小波基：多分辨率分析　9

第2章　連續小波變換　16
2.1　帶限函數與香農定理　16
2.2　作為再生核希爾伯特空間特例的帶限函數　19
2.3　帶限和時限　20
2.4　連續小波變換　22
2.5　構成連續小波變換基礎的再生核希爾伯特空間　29
2.6　更高維連續小波變換　31
2.7　與連續加窗傅里葉變換的相似　32
2.8　用於構建有用算子的連續變換　34
2.9　用於數學變焦的連續小波變換：局部正則性的表征　43

第3章　離散小波變換：框架　50
3.1　小波變換的離散化　50
3.2　框架概述　53
3.3　小波框架　60
3.3.1　一個必要條件：母小波的容許性　60
3.3.2　一個充分條件及框架界的估計　63
3.3.3　對偶框架　66
3.3.4　基本方案的一些變化形式　67
3.3.5　示例　69
3.4　加窗傅里葉變換的框架　77
3.4.1　一個必要條件：足夠高的時頻密度　77
3.4.2　一個充分條件和對框架界的估計　78
3.4.3　對偶框架　79
3.4.4　示例Ｖ80
3.5　時頻局部化　83
3.6　框架中的冗余：可以換回什麼Ｖ93
3.7　一些結論性要點　95

第4章　時頻密度與正交基　102
4.1　時頻密度在小波框架與加窗傅里葉框架中的角色　102
4.2　正交基　109
4.2.1　正交小波基　109
4.2.2　加窗傅里葉變換回顧：畢竟是「好」正交基！　114

第5章　小波正交基與多分辨率分析　123
5.1　基本思想　123
5.2　示例　131
5.3　放松某些條件　133
5.3.1　尺度函數的里斯基　133
5.3.2　以尺度函數為起點　134
5.4　更多示例：Battle-Lemarié小波族　139
5.5　正交小波基的正則性　146
5.6　與子帶濾波方法的聯系　149

第6章　緊支撐小波的正交基　159
6.1　m_0 的構造　159
6.2　與正交小波基的對應關系　166
6.3　正交的充要條件　173
6.4　生成正交基的緊支撐小波舉例　185
6.5　級聯算法：與細分或細化格式的聯系　193

第7章　再談緊支撐小波的正則性　203
7.1　基於傅里葉的方法　204
7.1.1　暴力方法　204
7.1.2　由不變循環推導衰減估計　208
7.1.3　李特爾伍德﹣佩利類型的估計　214
7.2　直接方法　219
7.3　具有更強正則性的緊支撐小波　228
7.4　正則性，還是消失矩　230

第8章　緊支撐小波基的對稱性　236
8.1　緊支撐正交小波缺乏對稱性　236
8.1.1　更接近線性相位　239
8.2　誇夫曼小波　242
8.3　對稱雙正交小波基　246
8.3.1　精確重構　246
8.3.2　尺度函數與小波　248
8.3.3　正則性與消失矩　252
8.3.4　對稱　253
8.3.5　接近正交基的雙正交基　263

第9章　以小波表征泛函空間　269
9.1　小波：在19.2　以小波表征泛函空間　278
9.3　L1([0; 1]) 的小波　283
9.4　小波展開與傅里葉級數的對比　286

第10章　正交小波基的泛化與技巧　291
10.1　伸縮因子為2的多維小波基　291
10.2　具有大於2的整數伸縮因子的一維正交小波基　297
10.3　具有矩陣伸縮因子的多維小波基　298
10.4　具有非整數伸縮因子的一維正交小波基　300
10.5　更好的頻率分辨率：划分技巧　303
10.6　小波包基　308
10.7　區間上的小波基　309
參考文獻　316
名詞索引　328
著者索引　331