第1章分數階微積分基礎
1.1一些特殊函數的定義和性質
1.1.1Gamma函數
1.1.2Beta函數
1.1.3Mittag—Leffler函數
1.2Riemann—Liouville分數階積分和分數階導數
1.3Riesz分數階導數
1.4Grunwald—Letnikov分數階導數
1.5Caputo分數階導數
1.6分數階算子的Fourier變換和Laplace變換
參考文獻
第2章空間分數階偏微分方程的差分方法
2.1Grunwald—Letnikov／移位Grunwald—Letnikov近似
2.1.1含有移位Grunwald—Letnikov近似的顯式Euler方法
2.1.2含有移位Grunwald—Letnikov近似的隱式Euler方法
2.1.3含有移位Grunwald—Letnikov近似的Crank—Nicholson方法
2.2移位Grunwald—Letnikov近似的穩定性和收斂性
2.2.1含有移位Grunwald—Letnikov近似的顯式Euler方法的穩定性和收斂性
2.2.2含有移位Grunwald—Letnikov近似的隱式Euler方法的穩定性和收斂性
2.2.3含有移位Grunwald—Letnikov近似的Crank—Nicholson方法的穩定性和收斂性
2.3Riesz空間分數階（對流—）擴散方程的二階格式
2.3.1外推技巧
2.3.2Crank—Nicholson方法—分數階中心差分格式
2.3.3求解Riesz空間分數階擴散方程／Riesz空間分數階對流—擴散方程的加權格式
2.4解空間分數階偏微分方程L—算法
2.5解空間分數階偏微分方程分數階行方法
2.6含有空間分數階Laplace算子的擴散方程
2.6.1齊次和非齊次Dirichlet邊界條件的空間分數階Laplace算子的擴散方程
2.6.2具有非齊次混合邊界條件的空間分數階Laplace算子的擴散方程
2.7復合介質中一維空間分數階擴散方程的分析解和數值解
2.7.1復合介質中一維空間分數階Laplace算子的擴散方程
2.7.2單一均勻介質的區域分解方法
2.7.3具有相同α的復合介質中的整體分析解
2.7.4具有相同α的復合介質中的整體數值解
2.7.5具有相同α的復合介質中的區域分解方法
2.7.6具有不同α的復合介質中的區域分解方法
2.7.7利用數值情況的研究給出方法的比較
2.8雙側空間分數階非線性變系數擴散方程
2.8.1雙側空間分數階非線性變系數擴散方程
2.8.2半隱式差分格式
2.8.3半隱式差分格式的理論分析
2.8.4快速迭代算法
2.9二維空間分數階滲透方程的有限差分方法
2.9.1一種隱式差分方法
2.9.2交替方向隱式差分方法
2.9.3交替方向隱式差分方法的穩定性和收斂性
參考文獻
第3章時間、時間—空間分數階偏微分方程的差分方法
3.1分數階積分和Caputo分數階導數的數值近似
3.1.1分數階積分的數值近似
3.1.2Caputo分數階導數的數值近似
3.2時間、時間—空間分數階擴散方程的差分格式
3.2.1差分格式的建立
3.2.2差分格式的穩定性和收斂性
3.3反常次擴散方程的隱式差分格式及其理論分析
3.3.1反常次擴散方程的隱式差分方法
3.3.2隱式差分格式的穩定性
3.3.3隱式差分格式的收斂性
3.4生物系統中分數階非線性動力系統的反問題
3.4.1生物系統中分數階非線性動力系統
3.4.2模擬分數階非線性動力系統的分數階預估—校正方法
3.4.3一種復合Nelder—Mead單純形和粒子群體最佳化算法
3.4.4非線性分數階動力模型中的參數估計
參考文獻
第4章多項時間—空間分數（分布）階偏微分方程
4.1多項時間分數階偏微分方程的解析解
4.1.1理論背景
4.1.2非齊次邊界條件下的多項時間分數階冪律波動方程
4.1.3特例
4.2多項時間—空間分數階偏微分方程的解析解
4.2.1具有多項時間分數階擴散項和空間分數階Laplace算子的對流—擴散方程的解析解
4.2.2具有多項時間分數階波動項和空間分數階Laplace算子的對流—擴散方程的解析解
4.2.3具有多項時間分數階混合擴散—波動項和空間分數階Laplace算子的對流—擴散方程的解析解
4.2.4特例
4.3多項時間分數階偏微分方程的數值方法
4.3.1二項移動／靜止時間分數階擴散方程
4.3.2二項時間分數階波動—擴散方程
4.3.3多項時間分數階偏微分方程的數值方法
4.4多項時間—空間分數階偏微分方程的數值方法
4.4.1二項時間—空間分數階偏微分方程的數值方法
4.4.2多項時間—空間Riesz—Caputo分數階微分方程的最大值原理和數值方法
4.4.3最大值原理
4.4.4解的唯一性和連續依賴性
4.4.5數值方法
4.5時間分布階的偏微分方程的數值方法
4.5.1緊差分格式
4.5.2緊差分格式的數值分析
4.6時間分布階—空間分數階擴散方程的數值方法
4.6.1時間分布階和Riesz空間分數階擴散方程
4.6.2隱式差分方法的數值分析
4.7空間分布階擴散方程的隱式差分方法
4.7.1一維情況下的隱式差分方法
4.7.2二維情況下的隱式交替方向方法
參考文獻
第5章變分數階偏微分方程的差分方法
5.1變分數階導數的定義
5.2空間變分數階對流—擴散方程
5.2.1隱式差分方法
5.2.2顯式Euler方法的穩定性和收斂性
5.2.3隱式Euler方法的穩定性和收斂性
5.2.4其他數值方法
5.3時間變分數階移動／不動對流—擴散方程
5.3.1隱式Euler方法
5.3.2隱式Euler方法的穩定性
5.3.3隱式Euler方法的收斂性
5.4時間變分數階擴散方程的數值方法
5.4.1時間變分數階擴散方程的逼近格式
5.4.2逼近格式的穩定性
5.4.3逼近格式的收斂性
5.4.4逼近格式的可解性
5.5時間—空間變分數階對流—擴散方程
5.5.1隱式Euler方法
5.5.2隱式Euler方法的穩定性
5.5.3隱式Euler方法的收斂性
5.6二維空間變分數階偏微分方程
5.6.1一種隱式交替方向方法
5.6.2穩定性和收斂性分析
參考文獻
第6章分數階偏微分方程的有限元法
6.1預備知識
6.2時間分數階Cable方程的Galerkin有限元法
6.2.1時間離散的半離散格式
6.2.2全離散Galerkin有限元近似
6.3一維空間分數階對流—擴散方程的Galerkin有限元法
6.3.1變分公式
6.3.2隱式Galerkin有限元完全離散格式
6.3.3穩定性和收斂性分析
6.4一維時間—空間分數階擴散方程的有限元法
6.4.1全離散格式的穩定性分析
6.4.2全離散格式的誤差估計
6.5二維空間分數階擴散方程的Galerkin有限元方法
6.5.1二維分數階導數空間和分數階Sobolev空間
6.5.2變分形式
6.5.3全離散Galerkin有限元格式
6.6二維時間—空間分數階Bloch—Torrey方程的有限元方法
6.6.1半離散格式
6.6.2全離散格式的收斂性
參考文獻
……
第7章分數階偏微分方程的譜方法
第8章有限體積方法和無網格方法
第9章人類大腦組織中的反常擴散模型的數值模擬
第10章心臟科學中非均勻介質內的分數階模型的數值模擬
索引
