數學分析(第一冊)

前言
致讀者

緒論
0.1 微積分起源簡介
0.2 18世紀微積分在應用方面的成就舉例
O.3 微積分的名稱來源

第l章 函數
1.1 變量
1.2 函數概念
1.2.1 函數的定義
1.2.2 構成函數的各種途徑
1.3 函數圖形的整體特征分類簡介
1.4 初等函數
后記

第2章 極限論
2.1 實數連續性公理簡介
2.2 有界數集與確界
2.2.1 有界數集
2.2.2 有界數集的確界
2.3 數列極限
2.3.1 數列及其極限命題的提出
2.3.2 數列的極限概念
2.3.3 收斂數列的性質
2.3.4 數列及其子列
2.3.5 單調有界數列的極限
2.4 實數連續統的基本定理
2.4.1 閉區間套序列、有限子覆蓋
2.4.2 聚點原理與Cauchy收斂准則
2.5 數列的上極限、下極限
2.5.1 數列的上、下極限概念
2.5.2 數列上、下極限的運算公式
2.6 函數極限
2.6.1 函數的有界性概念
2.6.2 函數的極限概念
2.6.3 函數極限的基本性質
2.6.4 兩個典型極限
2.6.5 判別函數極限存在的Cauchy准則
2.7 無窮大量、漸近線
2.7.1 無窮大連續變量
2.7.2 漸近線
2.7.3 無窮大整序變量
2.8 無窮大(小)量的量階表示
2.8.1 符號「O』與「O」的意義
2.8.2 漸近相等
后記

第3章 連續函數
3.1 函數的連續性
3.1.1 函數在一點連續的概念
3.1.2 函數在一點左、右連續的概念
3.1.3 函數在連續點處的局部性質
3.2 多個函數連續性之間的運算關系，初等函數的連續性
3.3 函數間斷點的分類
3.4 閉區間上連續函數的重要性質
3.4.1 有界性、最值性
3.4.2 介值(中值)性
3.4.3 一致連續性
后記

第4章 微分學(一)：導數與微分
4.1 函數的導數概念
4.1.1 即時速度與切線斜率
4.1.2 導數的定義及其記法
4.1.3 左、右導數的概念
4.1.4 函數的可導性與連續性
4.1.5 導數與變化率
4.2 求導運算法則
4.2.1 四則運算
4.2.2 復合函數與反函數的求導公式
4.2.3 隱函數的導數簡介
4.3 微分
4.3.1 微分概念與微分公式
4.3.2 復合函數微分法與微分的形式不變性
4.3.3 參數式函數的求導法
4.4 高階導數與高階微分
4.4.1 y一-f(x)的高階導數
4.4.2 其他定式函數的高階導數
4.4.3 高階微分
4.5 描述光滑曲線的幾何量
4.5.1 兩曲線之間的交角
4.5.2 弧長的微分
4.5.3 曲線的曲率
后記

第5章 微分學(二)：微分中值定理與Taylor公式
5.1 微分中值定理
5.1.1 Rolle定理
5.1.2 Lagrange中值公式
5.1.3 Cauchy中值公式
5.2 L』HospitaI法則——求「不定型」的極限
5.2.1 「÷」不定型
5.2.2 「一」不定型
5.2.3 其他不定型
5.3 函數的極值，導函數的性質
5.3.1 函數的極值
5.3.2 導函數的性質
5.4 判別函數的凹凸性，求曲線的拐點，曲線作圖
5.4.1 判別函數的凹凸性
5.4.2 求曲線的拐點
5.4.3 曲線作圖法
5.5 Taylor公式
5.5.1 Peano余項的Taylor公式及其應用
5.5.2 Lagrange余項的Taylor公式及其應用
后記

第6章 微分的逆運算——不定積分
6.1 原函數與不定積分
6.1.1 原函數與不定積分的概念
6.1.2 部分初等函數的積分表
6.2 積分法法則
6.2.1 不定積分運算的線性性質
6.2.2 換元積分法
6.2.3 分部積分法
6.2.4 遞推公式
6.3 原函數是初等函數的幾類函數積分法
6.3.1 有理分式(部分分式法)
6.3.2 無理函數的有理組合
后記