波利亞計數定理

續編說明
編寫說明
序言
一 幾個問題
1.1 球棒組合玩具
1.2 涂色的積木
1.3 同分異構體
1.4 開關電路
二 對稱和群
2.1 構形計數與對稱
2.2 幾何上的對稱
2.3 兩個應用的例子
2.4 什麼是群？
2.5 群的一些基本性質
2.6 兩種常見的群
2.7 置換群
三 “伯氏引理”
3.1 群在集上的作用
3.2 軌和穩定子群
3.3 伯氏引理的證明
3.4 伯氏引理的應用
3.5 空間的有限旋轉群
四 波利亞計數定理
4.1 怎樣推廣伯氏引理至波利亞計數定理？
4.2 波利亞計數定理的應用
4.3 伯氏引理的另一種推廣
五 同分異構體的計數
5.1 引言
5.2 母函數的運用
5.3 烷基CNH2N+1X的計數
5.4 烷烴CNH2N+2的計數
附錄 群的故事
參考文獻

一本書的序言，通常是讀者最先看卻是作者最後寫的一段！寫畢全書，松一口氣，我才下筆寫這篇序言，所以我可以告訴讀者，你將會在這本小書里踫到什麼.

書的題目已經說明了書的內容，就是介紹波利亞( Polya)計數定理和它的應用，波利亞計數定理是枚舉某些有限構形個數的一件重要的基本工具，它計算了一個置換群作用在一個集合上產生的等價類的個數．由于很多計數問題都能納入這個表述架構，波利亞計數定理的應用非常廣泛，就數學內容而言，這條定理結合了群、母函數、權的概念，構思優美，本書並沒有假定讀者具備這三個概念的知識，第二章逐步引入群的概念，並通過眾多例子闡述群的基本性質，第三章介紹群在集上的作用，也用了大量例子說明一個重要的公式，這個公式可以說是波利亞計數定理的前奏，第四章引人權的概念，把前一章的思想推廣，本書的主角一一波利亞計數定理一一也就登場了．第五章介紹這條定理的一項重要應用，是化學上同分異構體的計數問題，在敘述過程中同時介紹了母函數的概念．最後加了一個附錄，敘述群這個概念怎樣從古典代數的解方程問題產生，希望通過了解前人的業績提高讀者的學習興趣．

本書沒有假定讀者具備太多的專門數學知識，原則上一位高中學生按著章節讀下去而且願花一點氣力弄明白其中的內容，是完全可以讀懂的，關鍵就在“願花一點氣力”這句話上面．要弄明白一些數學，讀者需要親自動手干、動腦思考；動了手動了腦弄個明白後，那份愉悅只有自知！為了寫作本書我不時獲得這份愉悅，但限于個人的數學修養和表達技巧，我未必能成功地把這份愉悅直接傳達給每一位讀者．如果讀者因為看不明白某些段落自己動手動腦弄明白後感到那份愉悅，那我也算起了一點催化劑的作用！當然，如果內容有什麼錯漏，歡迎讀者給我指正．

最後，我將感激清華大學（原為中國科技大學，現在已經在清華大學工作）的馮克勤教授鼓勵我為《走向數學》叢書寫其中一本，讓我有這個機會學習，我也得感激英國南安普敦大學的羅伊德(E．K．Lloyd)教授惠寄資料，講解波利亞的理論與列爾菲爾的理論兩者之間的關系和它們的應用．在此謹向他們兩位致謝．