九章算術(全新修訂版)

總序
編譯者語
導讀
劉徽《九章算術》序
卷第一 方田
主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環等八種圖形面積的計算方法。另外還系統地講述了分數的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數等方法。
卷第二 粟米
主要講述了各種谷物的比率以及比例算法。最有名的比例算法有四項，其中一項為求求知項，本卷列出了求未知項的公式︰所求數=所有數×所有率÷所有率。
卷第三 衰分
主要講述以分配問題為中心的配分比例問題。
卷第四 少廣
主要講述了包括已知正方形在內的矩形的面積，求一邊之長等問題，或者已知立方體的表面積求其邊長的開方法則。這一章給出了正整數、正分數開平方、開立方的法則是世界上最早的記錄。
卷第五 商功
主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式，包括正四稜柱、圓柱、圓台、正圓錐等十種形體的體積計算公式。
卷第六 均輸
主要講述了以賦稅計算和其他應用問題為中心的比較復雜的配分比例計算方法。另外還提出了有關等差數列的問題。
卷第七 盈不足
主要講述以盈虧問題為中心的一種雙假設算法。
卷第八 方程
這里的“方程”的含義與我們現在所講的方程不同，它專指由線性方程組的系數排列而成的長方陣。除此之外，本章還在世界上首次提出了負數的概念，說明了正負數以及零之間的加減運算法則。
卷第九 勾股
主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關系。
附錄《孫子算經》譯解
原序
卷上︰算籌乘除之法
卷中︰算籌分數之法
卷下︰物不知數
附錄《周髀算經》譯解
卷上之一︰商高定理
之二︰陳子模型
之三︰七衡六間
卷下之一︰蓋天模型
之二︰天體測量
之三︰日月歷法
索引

原文

昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術，以合六爻之變。暨于黃帝神而化之，引而伸之，于是建歷紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。

徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干同者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮縴入微，探測無方；至于以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。

《周官‧大司徒職》，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，渭之地中。說雲，南戴日下萬五千里。夫雲爾者，以術推之。按︰《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差，為率，故日重差也。立兩表于洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之景以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之簡南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以簡徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也。雖天圓穹之象猶日可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之于志，以闡世術之美，輒造《重差》，並為注解，以究古人之意，綴于勾股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。