幾何新方法和新體系

總序
前言
上篇
　第1章 大師談小題九點七線面積奏奇效一箭三雕
　第2章 總結經驗按圖索驥探索規律摸石過河-．
　第3章 見微知著從偶然到必然得隴望蜀識技巧出方法
　第4章 由此及彼說了共邊講共角舉一反三算過三角比四邊
　第5章 步步為營行看風起雲涌層層消點坐等水落石出
　第6章 單直尺作圖名家點題平行線消點新法立功
　第7章 垂直線難用面積相比勾股差恰如向量點乘
　第8章 勾股差消去垂線上點新公式證明三高共心
　第9章 有圓有線豐富多彩看弧看角簡捷明快
　第10章 有向弦破解共圓點問題消點法證明托勒密等式
　第11章 消兩圓交點勾股差再立功解多支問題消點法須發展
　第12章 全角概念粉墨登場西姆松線輕松獲證
　第13章 改造幾何體系舊瓶新酒梳理消點方法長話短說
　第14章 三角和向量也能消點復數比面積更善攻堅
　第15章 幾何機器證明萬題同法數學自動推理美夢成真
下篇
　第16章 幾何世界說古論今公理體系追本溯源
　第17章 歐幾里得創原本開宗明義希爾伯特論基礎嚴謹精深
　第18章 現代數學慣用抽象結構古典幾何嵌入度量空間
　第19章 幾何公理服務現代教育數學泰斗撰寫初中教材
　第20章 四大概念引領公理體系三種度量演繹平面幾何
　第21章 四點共面新法新招兩線平行換湯換藥
　第22章 角度登台原為方便平行新證更加嚴謹
　第23章 體系對比多位一體結構互容各有千秋
　第24章 度量為綱輕車熟路體積唱戲故道新蹤
　第25章 拋磚引玉願益學子投石問路敬待來人
參考文獻

看到本叢書，多數人會問這樣的問題︰

“什麼是教育數學?”

“教育數學和數學教育有何不同?”

簡單說，改造數學使之更適宜于教學和學習，是教育數學為自己提出的任務．

把學數學比作吃核桃．核桃仁關味而富有營養，但要砸開才能吃到它．有些核桃，外殼與核桃仁緊密相依，成都人形象地叫它們“夾米子核桃”，如若砸不得法，砸開了還很難吃到．數學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃．教育數學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營養，更容易砸開吃淨．

“教育數學”的提法，最早出現在筆者1989年所寫的《從數學教育到教育數學》中．其實，教育數學的活動早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》，柯西寫《分析教程》，都是教育數學的經典之作．

數學教育有很多世界公認的難點，如初等數學里的幾何和三角，高等數學里面的微積分，都比較難學．為了對付這些難點，很多數學老師、數學教育專家前赴後繼，做了大量的研究，寫了很多的著作，進行了廣泛的教學實踐．多年實踐，幾番改革，還是覺得太難，不得不“忍痛割愛”，少學或者不學．教育數學則從另一個角度看問題︰這些難點的產生，是不是因為前人留下來的知識組織得不夠好，不適于數學的教與學?能不能優化數學，改良數學，讓數學知識變得更容易學習呢?

知識的組織方式和學習的難易有密切的聯系．英語中12個月的名字︰January，February，……．背單詞要花點工夫吧?如果改良一下︰一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo，等等，馬上就能理解，就能記住，學起來就容易多了．生活的語言如此．科學的語言——數學——何嘗不是這樣呢?

很多人認為，現在小學、中學到大學里所學的數學，從算術、幾何、代數、三角到微積分，都是幾百年前甚至幾千年前創造出來的數學．這些數學的最基本的部分，普遍認為是經過千錘百煉，相當成熟了．對于這樣的數學內容，除了選擇取舍。除了教學法的加工之外，還有優化改革的余地嗎?

但事情還可以換個角度看．這些進入了課堂的數學，是在不同的年代，不同的地方，由不同的人，為不同的目的而創造出來的，而且其中很多不是為了教學的目的而創造出來的．難道它們會自然而然地配合默契，適宜于教學和學習嗎?

看來，這主要不是一個理論問題，而是一個實踐問題．

走進教育數學，看看教育數學在做什麼，有助于回答這類問題．

隨便翻翻這幾本書，就能了解教育數學領域里近20年來做了哪些工作．從已有的結果看到，教育數學有事可做，而且能做更多的事情．

比如微積分教學的改革，這是在世界範圍內被廣為關注的事．叢書中有兩本專講微積分，主要還不是講教學方法，而是講改革微積分本身．

由牛頓和萊布尼茨創建的微積分，是第一代的微積分．這是說不清楚的微積分．創建者說不清楚，使用微積分解決問題的數學家也說不清楚．原理雖然說不清楚，應用仍然在蓮戥發展．微積分在說不清楚的情形下發展了130多年．

柯西和魏爾斯特拉斯等建立了嚴謹的極限理論，鞏固了微積分的基礎，形成了第二代的微積分．數學家把微積分說清楚了．但是由于概念和推理繁瑣迂回，對于絕大多數學習高等數學的人來說，是听不明白的微積分．微積分在多數學習者听不明白的情形下，又發展了170多年，直到今天．

第三代的微積分，是正在創建發展的新一代的微積分．人們希望微積分不但嚴謹，而且直觀易懂，簡易明快．讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理，不但知其然而且知其所以然．不但數學家說得清楚，而且非數學專業的多數學子也能听得明白．

第一代微積分和第二代微積分，在具體計算方法上基本相同；不同的是對原理的說明，前者說不清楚，後者說清楚了．

第三代微積分和前兩代微積分，在具體計算方法上也沒有不同；不同的仍是對原理的說明．

……