微積分大意

微積分大意
引言
一、實數理論
1.從有理數集談起
2.戴德金分劃
3.實數系的序結構
4.確界存在定理
5.ˇ2‧ˇ3＝ˇ6的證明
6.實數系的戴德金性質
二、極限論
1.關于序列極限
2.柯西收斂準則
3.一元函數
4.函數極限概念
三、連續性概念
1.連續性概念
2.一點處的連續性
3.復合函數的連續性
4.三個基本命題
5.連續模數
6.一致連續性定理
四、微積分主題淺釋
1.主題簡釋
2.柯西的積分概念
3.積分中值定理
4.積分學基本定理
5.微分中值定理
五、微商與微分
1.微分與導數的關系
2.多元函數
3.連續映射
4.可微映射
5.泰勒展開定理
6.多元泰勒公式
六、黎曼積分及其推廣
1.閉區間與開集
2.有界函數的黎曼積分
3.黎曼可積的充要條件
4.開集上的黎曼積分
5.黎曼積分的一個推廣
6.有界變差函數的積分
7.廣義積分
七、函數級數
1.阿貝爾的反例
2.一致收斂性概念
3.連續函數的級數連續性定理
4.逐項積分定理
5.逐項求導定理
6.級數連續性的充要條件
八、非標準分析大意
1.一點歷史回顧
2.非標準分析的特點
3.關于*R的高橋模型
4.超濾集的存在性
5.超濾集的作用
6.等價性概念與超冪*R
7.三分律及其驗證
8.作為有序域的*R
9.*R中的非標準實數
10.有限數的結構定理
11.有限數的標準部分
12.牛頓“流數術”的重新解釋
13.擴張與對應置換
14.微商概念
15.等和原理
16.積分概念及積分學基本定理
數學研究中的創造性思維規律
一、數學研究的目的
二、數學中的發現和發明
三、龐加萊的發明心理學
四、數學創造的一般心智過程
五、關于數學抽象的幾個基本法則
數學科學與現代文明
一、引言
二、數學科學與近現代科學技術的發展
三、數學科學與文化素質教育
四、數學科學與科學宇宙觀的演變
五、數學科學與頭腦編程
六、數學科學與美學原則
科學文化人與審美意識
一、開場白——題目的來源
二、科學文化人的一般含義
三、審美意識的重要性
四、創造能力與審美意識
五、培育審美意識的途徑之——發揮數學的美育功能
六、培育審美意識的最佳途徑——文理結合與文理滲透
七、審美意識與德、智、體的關系
附錄
數學家徐利治傳記
徐利治學術年表

說起來我的數學生涯是比較充實而漫長的．我從事數學教學、講學、科研工作及著述等活動，迄今已有60余年。

2007年8月在我將近87周歲時，回到我人生的最後一個工作站——大連理工大學，這期間，大連理工大學出版社的有關負責人和我商量重新整理出版我的一系列著作問題，我感到這是很有意義的事．本著貢獻晚年余熱的心願，我將很樂意和出版社合作，做好這件事。但由于我的著作較多，年度跨越很長，我想這將是需要數年時間才能逐步完成的一項工程。

記得1993年冬我應邀訪問台灣50天期間，有一天到台北師大數學系講演完畢，有一位年輕教師拿著一本印刷精美的《微積分概貌》小冊子，要我簽字留念，那就是我數年前所寫《微積分大意》一書的翻版．這本小冊子原由北京科技文獻出版社1990年出版，名為“大意”，實際是扼要地講述了“高等微積分”中的一些重要課題，且附有“非標準分析”（NSA， Non-Standard Analysis）的簡明介紹，而NSA早就被認為是21世紀里必將普遍采用的一門新興數學分析工具。

這本小冊子題材適用于理工科院校從事高等數學教學的師生們參考．考慮到微積分題材內容對啟發培育創造性思維能力有特殊作用，因此，我還采納了出版社的建議，將“數學研究中的創造性思維規律”（1989年發表于《百科知識》）“數學科學與現代文明”（與朱劍英、朱梧損合作，1997年發表于《自然雜志》）“科學文化人與審美意識”（1997年發表于《數學教育學報》）等文章略做修改，移植到這里，以供讀者們瀏覽。大家如果能將這幾篇文章中的思想方法與觀點和微積分題材聯系起來做研究，相信一定會有寶貴的收獲。