數學眼光透視

第一章 尋究的眼光
　1.1 九九乘法表
　 1.1.1 從九九乘法表可以發現的事實
　 1.1.2 從九九乘法表的個位數的排列所得的結論
　 1.1.3 九九乘法表中一數與周圍數字的關系
　1.2 一元二次方程的求根公式
　 1.2.1 公式①所體現的數學美
　 1.2.2 對方程的求解產生的新認識
　 1.2.3 一元二次方程的其他求根公式
　1.3 三角形的內角和定理
　 1.3.1 凸n邊形的外角和
　 1.3.2 平面多邊形中的歐拉公式
　 1.3.3 立體幾何中的歐拉公式
　 1.3.4 正多面體只有五種
　1.4 勾三股四弦五（3，4，5）
　 1.4.1 （3，4，5）的圖形表示
　 1.4.2 由（3，4，5）到勾股弦數組（a，b，c）的求法
　 1.4.3 勾股弦數組的有趣性質
　 1.4.4 由（3，4，5）聯想到廣義勾股弦數組
　 1.4.5 由（3，4，5）聯想到高維勾股弦數組
　思考題
　思考題參考解答
第二章 洞察的眼光
　2.1 從不同的角度看同一個數學對象
　 2.1.1 把一個圖形看成兩個重合的圖形
　 2.1.2 從旋（或翻）轉的角度看同一個圖
　 2.1.3 對同一個算式中的項進行恰當的排列重組
　2.2 方格圖中的代數等式（公式）
　 2.2.1 划分方恪圖獲礙自然數方冪和或乘積和的有關求和公式
　 2.2.2 划分方格圖填數獲得自然數方冪和的有關求和公式
　2.3 圖形分割中的計數公式
　 2.3.1 點分割線段及射線分割角（小於平角的角）
　 2.3.2 直線分割平面或圓面
　2.4 三角形三邊所在直線上的三點問題
　 2.4.1 三角形三邊所在直線上的三點組成的三角形
　 2.4.2 三角形三邊所在直線上的點與頂點連線圍成的三角形
　 2.4.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理的統一推廣
　2.5 二元一次方程組的求解
　 2.5.1 求解過程及結論的字母符號表示
　 2.5.2 求解公式的推廣
　2.6 從一道等差數列問題的求解談起
　 2.6.1 問題及其求解
　 2.6.2 一些聯想
　2.7 直線方程x0x＋y0y=r2的幾何意義
　思考題
　思考題參考解答
第三章 搜索的眼光
　3.1 勾股定理的證明
　 3.1.1 圖形出入相補
　 3.1.2 圖形面積推算
　 3.1.3 相似圖形推演
　 3.1.4 其他圖形或性質推導
　3.2 兩正數的算術與幾何平均值不等式
　 3.2.1 尋證明，多思路
　 3.2.2 談運用，有角度
　 3.2.3 析變式，廣應用
　 3.2.4 深推廣，寬聯想
　3.3 蝶形探微
　 3.3.1 蝶形的性質及應用
　 3.3.2 蝴蝶定理種種
　3.4 點到直線距離公式的推導
　思考題
　思考題參考解答
第四章 敏銳的眼光
　4.1 從哥德巴赫猜想談起
　4.2 神奇的數表
　 4.2.1 奇妙的數字寶塔
　 4.2.2 奇妙的數型
　4.3 排隊數
　4.4 回文數
　4.5 可拆素數，順次可拆素數
　4.6 奇妙的多邊形數
　 4.6.1 三角形數的奇妙性質
　4.6.2 多邊形數的和
　4.7 平方數
　 4.7.1 平方數的計算
　 4.7.2 平方數的特性
　 4.7.3 平方數變換
　 4.7.4 連寫數平方數
　 4.7.5 連續平方數數組
　 4.7.6 重寫數平方數
　 4.7.7 一個數表為平方數之和
　4.8 平方舞伴數
　4.9 自生數
　4.10 親和數
　4.11 完全數
　4.12 梅森數
　4.13 費馬數
　4.14 等冪和數
　 4.14.1 神奇的和
　 4.14.2 規律在探索中展現
　 4.14.3 認識在規律中升華
　 4.14.4 揭開神奇的和的面紗
　 4.14.5 欲窮千里目，更上一層樓
　4.15 輪環整除數
　4.16 黑洞數
　4.17 水仙花數（Randle數）或回歸數（方冪和數）
　思考題
　思考題參考解答
第五章 思悟的眼光
　5.1 在變化中看到不變
　5.2 在不同中看到相同
　5.3 在近似中看到精確
　5.4 在模糊中看到清晰
　5.5 在量變中看到質變
　5.6 在抽象中看到具體
　 5.6.1 數學式子的實際背景顯意義
　 5.6.2 數學概念的現實模具助理解
　 5.6.3 數學結論求解的具體表示助溝通
　5.7 從偶然中發現必然
　 5.7.1 素數7，11，13的美妙特性
　 5.7.2 反常約分
　 5.7.3 行列式的一條有趣性質
　 5.7.4 解題中一般方法的發現
　5.8 從平凡中發現奇異
　 5.8.1 三角形中的一個點
　 5.8.2 恆等式A＝2kA/2k＝αA/α
　5.9 從紊亂中歸納條理
　5.10 從無序中找到規律
　5.11 從混沌中發現秩序
　5.12 從對象的隨機性中感悟到其內部的確定性
　思考題
　思考題參考解答
第六章 和諧的眼光
　6.1 三角形內心與旁心的統一
　 6.1.1 三角形內心定理、旁心定理的統一證明
　 6.1.2 三角形內心與旁心有關結論的轉換
　6.2 五條定理用圓串。勾股定理把線牽
　6.3 三角形、圓與三角理論
　6.4 楊輝三角——數學聯系的充分體現
　 6.4.1 楊輝三角數字排列的一些性質
　 6.4.2 楊輝三角與九宮圖
　 6.4.3 楊輝三角與縱橫路線圖
　 6.4.4 楊輝三角與謝爾賓斯基襯墊
　 6.4.5 楊輝三角與概率
　 6.4.6 楊輝三角與黃金均值
　6.5 勾股弦數邂逅斐波那契數
　 6.5.1 四個連續的斐波那契數與勾股弦數
　 6.5.2 五個連續的斐波那契數與勾股弦數
　 6.5.3 若干個連續的斐波那契數與勾股弦數
　6.6 數學概念的普遍聯系
　 6.6.1 以從屬關系為橋梁的聯系
　 6.6.2 以合成關系為紐帶的聯系
　 6.6.3 以對應關系為媒介的聯系
　 6.6.4 以對偶形式為基礎的聯系
　6.7 自然現象與數學的聯系
　 6.7.1 節律現象與數學
　 6.7.2 磨光現象與數學
　 6.7.3 全息現象與數學
　思考題
　思考題參考解答
第七章 神韻的眼光
　7.1 數學問題的智慧處理
　 7.1.1 在數學解題中
　 7.1.2 在數學研究中
　7.2 語言與文學問題的數學處理
　 7.2.1 律詩中的平仄與格律
　 7.2.2 詩詞中的修辭手法
　 7.2.3 寓言的寓意
　 7.2.4 英語數詞中的字母賦值
　7.3 藝術問題的數學處理
　 7.3.1 數學與音樂
　 7.3.2 數學與形體
　7.4 人生問題的數學處理
　 7.4.1 人生坐標系與名言
　 7.4.2 人生最美好的年華
　 7.4.3 人生「算術」
　思考題
　思考題參考解答
第八章 奇異的眼光
　8.1 自然現象中的驚奇
　 8.1.1 植物中的數學擷趣
　 8.1.2 自然界中的數學模式
　8.2 數學中的奇異美
　 8.2.1 三角式中的奇異美
　 8.2.2 算術中的奇異美
　 8.2.3 幾何中的奇異美
　 8.2.4 代數中的奇異美
　8.3 奇妙的黃金概念
　 8.3.1 黃金比
　 8.3.2 黃金圖形種種
　 8.3.3 特殊圖形中的黃金分割點
　思考題
　思考題參考解答
第九章 辯證的眼光
　9.1 已知與未知
　 9.1.1 以字母代未知數——從算術到代數
　 9.1.2 由已知，找可知，逐步靠攏未知——綜合法
　 9.1.3 由未知，找須知，逐步靠攏已知——分析法
　9.2 常量與變量
　 9.2.1 常量與變量的相依性
　 9.2.2 常量與變量的相對性
　 9.2.3 通過常量來描述刻畫變量
　 9.2.4 通過變量研究常量
　9.3 等與不等
　 9.3.1 在數學解題中
　 9.3.2 在數學思維中
　9.4 直與曲
　 9.4.1 曲線具有漸近線部分的特征
　 9.4.2 非線性問題線性化
　 9.4.3 直線與曲線在微分學中最終等同起來
　9.5 有限與無限
　 9.5.1 有限與無限的質的差異
　 9.5.2 數學中有限與無限的聯系與轉化
　9.6 連續與不連續
　 9.6.1 連續與離散
　 9.6.2 連續與間斷
　思考題
　思考題參考解答
第十章 戰略的眼光
　10.1 宏觀的思考方式
10.1.1 整體審視
　 10.1.2 積零為整
　 10.1.3 整體變換
　10.2 靈活的實施技巧
　 10.2.1 實現戰術任務
　 10.2.2 化整為零
　 10.2.3 局部調整
　 10.2.4 關注變形技巧
　思考題
　思考題參考解答
參考文獻
作者出版的相關書籍與發表的相關文章目錄
編后語

我和沈文選教授有過合作，彼此相熟。不久前，他發來一套數學普及讀物的叢書目錄，包括數學眼光、數學思想、數學應用、數學模型、數學方法、數學史話等，洋洋大觀。從論述的數學課題來看，該叢書的視角新穎，內容充實，思想深刻，在數學科普出版物中當屬上乘之作。

閱讀之余，忽然覺得公眾對數學的認識很不相同，有些甚至是彼此矛盾的。例如：

一方面，數學是學校的主要基礎課，從小學到高中，12年都有數學；另一方面，許多名人在說「自己數學很差」的時候，似乎理直氣壯，連臉也不紅，好像在宣示：數學不好，照樣出名。

一方面，說數學是科學的女王，「大哉數學之為用」，數學無處不在，數學是人類文明的火車頭；另一方面，許多學生說數學沒用，一輩子也碰不到一個函數，解不了一個方程，連相聲也在諷剌「一邊向水池注水，一邊放水」的算術題是瞎折騰。

一方面，說「數學好玩」，數學具有和諧美、對稱美、奇異美，歌頌數學家的「美麗的心靈」；另一方面，許多人又說，數學枯燥、抽象、難學，看見數學就頭疼。

數學，我怎樣才能走近你，欣賞你，擁抱你？說起來也很簡單，就是不要僅僅埋頭做題，要多多品味數學的奧秘，理解數學的智慧，拋卻過分的功利，當你把數學當作一種文化來看待的時候，數學就在你心中了。

我把學習數學比做登山，一步步地爬，很累，很苦。但是如果你能欣賞山林的風景，那麽登山就是一種樂趣了。

登山有三種意境。

首先是初識階段。走入山林，爬得微微出汗，坐擁山色風光。體會「明月松間照，清泉石上流」的意境。當你會做算術，會記賬，能夠應付日常生活中的數學的時候，你會享受數學給你帶來的便捷，感受到好似飲用清泉那樣愉悅。

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