數學史話覽勝

第一章 學習數學史的意義
1.1 數學史研究的對象
1.2 學習數學史的意義
第二章 數學的起源
2.1 數的概念的形成
2.1.1 數的概念產生的物質基礎
2.1.2 數覺與等數性
2.2 數的語言、符號與記數方法的產生和演變
2.2.1 數的語言
2.2.2 數的符號一數字
2.2.3 古代的進位制
2.3 幾何的起源
2.3.1 形的起源
2.3.2 幾何圖形
2.3.3 實驗幾何
第三章 數學史的分期及各時期的著名數學家
3.1 中國數學史部分及中國古代著名數學家
3.1.1 古代數學的初期
3.1.2 古代數學體系形成時期
3.1.3 古代數學穩步發展時期
3.1.4 古代數學的興盛時期
3.1.5 古代數學衰落時期
3.1.6 西方數學傳入時期
3.1.7 走向蓬勃發展的新時期
3.2 外國數學史部分及外國古代著名數學家
3.2.1 萌芽時期
3.2.2 初等數學時期
3.2.3 高等數學時期
3.2.4 近代數學時期
3.2.5 現代數學時期
第四章 算術史話
4.1 對自然數認識的幾個階段
4.2 自然數的早期研究
4.3 常用最繁的數碼
4.4 「O」的符號溯源
4.5 數的運算
4.6 小數的產生與表示
4.7 最早的二進位制
4.8 「算術」一詞的內涵
4.9 珠算與算盤史略
第五章 代數學史話
5.1 從算術到代數
5.2 數系的擴張
5.2.1 負數的產生與確定——數系的第二次擴張
5.2.2 無理數的發現——數系的第三次擴張
5.2.3 虛數、復數的發現——數系的第四次擴張
5.3 方程與方程組的簡史
5.3.1 方程的研究簡史
5.3.2 方程組的研究簡史
5.3.3 高次方程根式解及「群」概念的產生
5.4 等差、等比數列小史
5.4.1 等差數列
5.4.2 等比數列
5.4.3 高階等羞數列的和與「招差術」
5.5 對數的產生與發展
5.5.1 對數的產生
5.5.2 對數表的發展和完善
5.6 數學符號的產生與演進
5.6.1 加法符號「+」
5.6.2 減法符號「-」
5.6.3 乘法符號「×」
5.6.4 除法符號「÷」
5.6.5 等號「=」、大於號「>」、小於號「 5.6.6 小括號「（ ）」、中括號「[]」、大括號「{ }」
5.6.7 根號「廠「
5.6.8 指數符號「a」
5.6.9 對數符號「log」，「In」
……
第六章 函數概念的形成與發展
第七章 幾何學史話
第八章 解析幾何史話
第九章 微積分史話
第十章 射影幾何史話
第十一章 概率論史話
參考文獻
作者出版的相關書籍與發表的相關的文章目錄
編後語

我和沈文選教授有過合作，彼此相熟。不久前，他發來一套數學普及讀物的叢書目錄，包括數學眼光、數學思想、數學應用、數學模型、數學方法、數學史話等，洋洋大觀。從論述的數學課題來看，該叢書的視角新穎，內容充實，思想深刻，在數學科普出版物中當屬上乘之作。

閱讀之余，忽然覺得公眾對數學的認識很不相同，有些甚至是彼此矛盾的。例如:

一方面，數學是學校的主要基礎課，從小學到高中，12年都有數學；另一方面，許多名人在說「自己數學很差」的時候，似乎理直氣壯，連臉也不紅，好像在宣示:數學不好，照樣出名。

一方面，說數學是科學的女王，「大哉數學之為用」，數學無處不在，數學是人類文明的火車頭；另一方面，許多學生說數學沒用，一輩子也碰不到一個函數，解不了一個方程，連相聲也在諷刺「一邊向水池注水，一邊放水」的算術題是瞎折騰。

一方面，說「數學好玩」，數學具有和諧美、對稱美、奇異美，歌頌數學家的「美麗的心靈」；另一方面，許多人又說，數學枯燥、抽象、難學，看見數學就頭疼。

數學，我怎樣才能走近你，欣賞你，擁抱你？說起來也很簡單，就是不要僅僅埋頭做題，要多多品味數學的奧秘，理解數學的智慧，拋卻過分的功利，當你把數學當做一種文化來看待的時候，數學就在你心中了。

我把學習數學比做登山，一步步地爬，很累，很苦。但是如果你能欣賞山林的風景，那麽登山就是一種樂趣了。

登山有三種意境。

首先是初識階段。走入山林，爬得微微出汗，坐擁山色風光。體會「明月松間照，清泉石上流」的意境。當你會做算術，會記賬，能夠應付日常生活中的數學的時候，你會享受數學給你帶來的便捷，感受到好似飲用清泉那樣的愉悅。

其次是理解階段。爬到山腰，大汗淋漓，歇足小坐。環顧四周，雲霧環繞，滿目蒼翠，心 曠神怡。正如蘇軾名句:「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同；不識廬山真面目，只緣身在此．山中。」數學理解到一定程度，你會感覺到數學的博大精深，數學思維的縝密周全，數學的簡捷之美，使你對符號運算能夠有愛不釋手的感受。不過，理解了，還不能創造。「采藥山中去，雲深不知處。」對於數學的偉大，還莫測高深。

第三則是登頂階段。攀岩涉水，越過艱難險阻，到達頂峰的時候，終於出現了「會當凌絕頂，一覽眾山小」的局面。這時，一切疲乏勞頓、危難困苦，全都拋到九霄雲外。「雄關漫道真如鐵」，欣賞數學之美，是需要代價的。當你破解了一道數學難題，「驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」的意境，是語言無法形容的快樂。

好了，說了這些，還是回到沈文選先生的叢書。如果你能靜心閱讀，它會幫助你一步步攀登數學的高山，領略數學的美景，最終登上數學的頂峰。於是勞頓著，但快樂著。

信手寫來。權作為序。

張奠宙

2007年11月13日

於滬上蘇州河邊

附文

（文選先生編著的叢書，是一種對數學的欣賞。因此，再次想起數學思想往往和文學意境相通，年初曾在《文匯報》發表一短文，附錄於此，算是一種呼應）

數學和詩詞的意境

張奠宙

數學和詩詞，歷來有許多可供談的的材料。例如:

一去二三里，煙村四五家；

樓台七八座，八九十支花。

把十個數字嵌進詩呈，讀來琅琅上口。鄭板橋也有詠雪詩:

一片二片三四片，五片六片七八片；

千片萬片無數片，飛入梅花總不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。不過，以上兩詩中盡管嵌入了數字，卻實在和數學沒有什麽關系。

數學和詩詞的內在聯系，在於意境。李白《送孟浩然之廣陵》詩雲:

故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。

孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。

數學名家徐利治先生在講極限的時候，總要引用「孤帆遠影碧空盡」這一句，讓大家體會一個變量趨向於0的動態意境，煞是傳神。

近日與友人談幾何，不禁聯想到初唐詩人陳子昂《登幽州台歌》中的名句:

前不見古人，後不見來者；

念天地之悠悠，獨愴然而涕下。

一般的語文解釋說:上兩句俯仰古今，寫出時間綿長；第三句登樓眺望，寫出空間遼闊；在廣闊無垠的背景中，第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒，兩相映照，分外動人。然而，從數學上看來，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）。陳老先生以自己為原點，前不見古人指時間可以延伸到負無窮大，後不見來者則意味著未來的時間是正無窮大。後兩句則描寫三維的現實空間:天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大， 產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，數學家和文學家是可以彼此相通的。進一步說，愛因斯坦的四維時空學說，也能和此詩的意境相（彳金亍）接。

貴州六盤水師專的楊老師告訴我他的一則經驗。他在微積分教學中講到無界變量時，用了宋朝葉紹翁《游園不值》中的詩句:

滿園春色關不住，一枝紅杏出牆來。

學生每每會意而笑。實際上，無界變量是說，無論你設置怎樣大的正數M，變量總要超出你的范圍，即有一個變量的絕對值會超過M。於是，M可以比喻成無論怎樣大的園子，變量相當於紅杏，結果是總有一枝紅杏越出園子的范圍。詩的比喻如此恰切，其意境把枯燥的數學語言形象化了。

數學研究和學習需要解題，而解題過程需要反復思索，終於在某一時刻出現頓悟。例如，做一道幾何題，百思不得其解，突然添了一條補助線，問題豁然開朗，欣喜萬分。這樣的意境，想起了王國維用辛棄疾的詞來描述的意境：「眾里尋它千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。」一個學生，如果沒有經歷過這樣的意境，數學大概是學不好的了。