數學模型與實驗

第1章 數學建模概論
§1.1 數學建模類型、步驟和方法
1.1.1 原型和模型
1.1.2 數學模型
1.1.3 數學模型分類及建模方法
1.1.4 在數學建模學習中一般應注意的幾個方面
§1.2 數學建模示例
1.2.1 方桌問題
1.2.2 農場放牧問題
1.2.3 台風問題
§1.3 數學建模競賽答卷寫作要求
1.3.1 寫好數模競賽答卷的重要性
1.3.2 答卷的基本內容，需要重視的問題
1.3.3 對分工執筆的同學的要求
1.3.4 關於寫答卷前的思考和工作規划
第2章 初等數學模型
§2.1 公平的席位分配
§2.2 雙層玻璃窗的功效
§2.3 貸款購房方案的選擇
§2.4 效益的合理分配
§2.5 量綱分析與無量綱化
2.5.1 量綱齊次原則與Pi定理
2.5.2 量綱分析·航船的阻力
2.5.3 無量綱化·拋射問題
第3章 微分與差分方程模型
§3.1 微分方程理論簡介
3.1.1 微分方程的基本概念
3.1.2 微分方程的平衡點及穩定性
3.1.3 微分方程建模的基本方法
§3.2 微分方程建模實例
3.2.1 人口增長模型
3.2.2 戰爭模型
3.2.3 減肥問題
3.2.4 飛越北極的數學模型
§3.3 差分方程理論簡介
3.3.1 差分方程的基本概念
3.3.2 差分方程的平衡點及其穩定性
§3.4 差分方程建模實例
3.4.1 市場經濟中的蛛網模型
3.4.2 遺傳模型
第4章 數學規划
§4.1 線性規划
4.1.1 線性規划問題及其數學模型
4.1.2 應用舉例
4.1.3 用Matlab優化工具箱解線性規划
§4.2 運輸問題
4.2.1 運輸問題的數學模型
4.2.2 應用舉例
§4.3 整數規划
4.3.1 整數規划問題的提出
4.3.2 基本概念
4.3.3 0-1型整數規划
4.3.4 應用舉例
§4.4 非線性規划
§4.5 目標規划
4.5.1 目標規划的數學模型
4.5.2 基本概念
4.5.3 應用舉例
§4.6 多目標規划
4.6.1 多目標規划及其非劣解
4.6.2 多目標規划的非劣解
4.6.3 多目標規划求解技術簡介
4.6.4 多目標規划應用實例
§4.7 動態規划
4.7.1 多階段決策過程及實例
4.7.2 動態規划的基本概念和基本方程
4.7.3 動態規划的最優性原理
第5章 圖與網絡模型
§5.1 圖與網絡的基本概念
§5.2 最短路和最小樹模型
5.2.1 最短路模型
5.2.2 最小樹模型
§5.3 最大流問題
§5.4 足球隊排名問題
第6章 概率統計模型
§6.1 概率統計基本知識介紹
6.1.1 概率的公理化定義
6.1.2 隨機變量
6.1.3 隨機變量的數字特征
§6.2 回歸分析
6.2.1 回歸分析的基本概念
6.2.2 最小二乘法
6.2.3 線性回歸的方差分析
6.2.4 多元線性回歸方程
§6.3 判別分析
6.3.1 判別分析的基本概念
6.3.2 距離判別法
6.3.3 費希爾（Fisher）判別法
6.3.4 貝葉斯（Bayes）判別法
6.3.5 逐步判別法
第7章 模糊數學和灰色系統模型
§7.1 模糊數學模型
7.1.1 Fuzzy數學的基本概念
7.1.2 模糊關系和模糊矩陣
7.1.3 模糊聚類分析方法
7.1.4 模糊決策方法
§7.2 灰色系統模型
7.2.1 灰色系統理論概述
7.2.2 灰色關聯度理論
7.2.3 灰色GM（1，1）頂測模型
第8章 Matlab軟件介紹
§8.1 界面窗口
8.1.1 Matlab的使用環境
8.1.2 基本概念與常見操作
§8.2 數值計算
8.2.1 常用函數
8.2.2 數值計算
§8.3 圖形功能
8.3.1 基本命令
8.3.2 圖形的控制與表現
§8.4 符號計算
8.4.1 符號對象的創建
8.4.2 符號表達式的化簡
8.4.3 符號微積分
8.4.4 符號方程的求解
8.4.5 符號數學的簡易繪圖函數
第9章 LINCO軟件簡介
§9.1 LINGO快速入門
§9.2 LINGO中的集
9.2.1 為什麼使用集
9.2.2 什麼是集
9.2.3 模型的集部分
§9.3 模型的數據部分和初始部分
9.3.1 模型的數據部分
9.3.2 模型的初始部分
§9.4 LINGO函數
9.4.1 基本運算符
9.4.2 數學函數
9.4.3 金融函數
9.4.4 概率函數
9.4.5 變量界定函數
9.4.6 集操作函數
9.4.7 集循環函數
9.4.8 輸入和輸出函數
9.4.9 輔助函數
§9.5 LINGO Windows命令
9.5.1 文件菜單
9.5.2 編輯菜單
9.5.3 LINGO菜單
§9.6 綜合舉例
第10章 SAS軟件主要功能模塊介紹
§10.1 SAS系統基本操作及基本概念
10.1.1 SAS的顯示管理系統
10.1.2 SAS程序的輸入及運行
§10.2 SAS對數據的管理
10.2.1 SAS數據集
10.2.2 SAS數據庫
§10.3 SAS編程基礎
10.3.1 SAS語法基礎
10.3.2 SAS常用語句
10.3.3 SAS的一些基本服務過程
§10.4 統計描述與SAS過程
10.4.1 統計報表
10.4.2 圖形描述
§10.5 計量資料的統計量描述
10.5.1 MEANS過程
10.5.2 UNIVARIATE過程
第11章 數學實驗
實驗1 矩陣的基本運算
實驗2 微積分的基本運算
實驗3 函數的圖形表示
實驗4 數據的插值與擬合
實驗5 魚雷擊艦問題
實驗6 投資的收益與風險
實驗7 非線性交調的頻率設計
實驗8 最佳災情巡視路線
參考文獻

數學模型與數學實驗課在我國大多數高等院校中普遍開設，它是當前我國高等教育基礎課程教學改革的前沿課程之一．這一課程對學生正確理解數學教育的重要性以及數學學科與其他諸多專業課之問的內在聯系有着非常重要的作用——它是學生在校學習期間彌合基礎理論與各應用學科之間鴻溝的一座橋梁．同時，作為數學師范教育的一門重要的輔助課程，這門課程的開設也為整合大學數學教學過程中不同數學專業課程理論在解決實際問題時彼此之問的橫向聯系成為可能．

數學模型與實驗是數學理論及電子計算機技術與實際問題相結合的產物．它首先將現實問題歸結為相應的數學問題，並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，並為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導．其次，運用計算機模擬技術，借助於數學軟件，設計合理的近似算法，進而給出一個最優或近似最優決策．努力提高建立數學模型方面的修養，自覺培養這方面的能力並注意積累有益的知識和經驗，對於有志於學習與運用數學的廣大本科學生以及眾多的應用科學工作者來說，均是一項十分重要的基本建設．

本書作者均是輔導學生參加最近幾年全國大學生數學建模競賽的優秀教練員，他們較早地將數學模型與實驗課作為全校公共選修課的應用數學專業本科生的基礎課，對本課程教學改革進行立項研究，應當說這門課程的教學實踐是相當成功的——愈來愈多的學生注冊選修本課程和參加有關的數學建模競賽活動，學生受益廣．本書得以成功編著，可以說是作者最近幾年在數學模型課課程教學以及數學建模活動的開展過程中所積累下來的資料所進行的一次較為全面的整理，其內容包括：①幾位老師數學模型課教學以及組織培訓參加數學建模競賽隊員過程中所編寫的講義、有關數學建模教學的交流文稿等；②1999年以來，該校學生參加全國大學生數學建模競賽時所完成的參賽論文，甚至包括一些師生相互交流研討與數學建模有關的實訓論文（這些論文有的在一些比較有影響的學術刊物上已發表）；③參考國內外大量相關教材、專著、文獻並吸納個人一些科研成果．另外，在數學建模案例的選擇和數學實驗設計方面體現了課時少，容量大，留給學生想象空間廣，適合於師范類本科生學習特點，這使得本教材具有自己鮮明特色．

根據建立數學模型的特點，學習這門課程，重要的不僅在於知識的積累，而且應着眼於能力的提高．希望廣大讀者將本書提供的一些實例作為案例來對待，通過實例訓練和計算機模擬，體會數學建模的思想和方法，掌握數學實驗的一般規律，而不要滿足於學習一些數學理論知識，更不要滿足於對個別實例進行機械模仿．這樣，才可能開拓思路，培養分析問題和解決問題的能力，真正達到學習這門課程的效果．

全國大學生數學建模競賽湖北賽區組委會專家組組長
費浦生
2008年4月8日