常微分方程

常用記號
第一章 基本概念
1 相空間和相流
……
第二章 基本理論
7 常點附近的向量場
……
第三章 線性系統
13 線性問題
……
第四章 基本定理的證明
30 壓縮映射
……
第五章 流形上的微分方程
33 微分流形
……
典型練習題
參考文獻
索引

在選擇本書題材時，我試圖把范圍限制在必不可少的絕對必要的材料上。貫穿本書的是兩個中心思想及其衍生結果，即向量場直化定理（等價於通常解的存在、唯一性和可微性定理）和單參數線性變換群理論（即線性自治系統理論）。因此，我武斷地省略了在常微分方程教材中通常包含的若干更專門的論題。例如，初等積分法，關於導數不可解方程，奇解，斯圖謨（Sturm）－劉維爾（Liouville）理論，一階偏微分方程等。最后兩個論題，我認為最好放在偏微分方程或變分法教程中，而其他若干內容則安排在習題中更為適當。

另一方面，常微分方程在力學中的應用要比通常課程研究得更為詳細。因而單擺方程在本書一開始就出現，而且全書中引入的各種概念和方法的功效，都依次應用此例進行檢驗。在這一方面，能量守恆定律在首次積分部分出現，小參數方法則從關於參數微分定理推出，而具有周期系數的線性微分方程理論，自然地導致秋干的研究（參數共振）。

本書對許多論題的處理方式，與傳統方式迥然不同。在每一論題中，我都試圖強調所考察現象的幾何和定性方面。根據這個原則，本書有許多圖，而不包含任何特別復雜的公式；另一方面，還引人了大量基本概念，它們在傳統的坐標基方法中很少論及（例如相空間和相流，光滑流形和切叢，向量場和單參數微分同胚群）。如果這些概念可以看作是已知的，那麼本書就可以大為縮減了。但遺憾的是，目前在分析或幾何課程中都沒有包含它們，因此，我不得不對這些概念作較為詳細的介紹，並假定讀者的知識不超出分析和線性代數標准課程的范圍。