數學與猜想：數學中的歸納和類比(第一卷)

譯者的話
序言
對讀者的提示
第一章 歸納方法
引言
1.經驗和信念
2.啟發性聯想
3.支持性聯想
4.歸納的態度
第一章 的例題和注釋，l～14.［12.是與非.13.經驗與行為.14.邏輯學家、數學家、物理學家和工程師.］
第二章 一般化、特殊化、類比
1.一般化、特殊化、類比和歸納
2.一般化
3.特殊化
4.類比
5.一般化、特殊化和類比
6.由類比作出的發現
7.類比和歸納
第二章的例題和注釋，1～46；［第一部分，1～20；第二部分，21～46］.［1.正確的推廣.5.一個極端的特殊情形.7.起主導作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可類比的情形.18.偉大的類比.19.明確的類比.20.幾位數學家的名句摘錄.21.猜想E.44.對猜想的一個疑問和證明的第一步嘗試.45.證明的第二步嘗試.46.類比的危險.］
第三章 立體幾何中的歸納推理
1.多面體
2.支持猜想的第一批事實
3.支持猜想的更多事實
4.一次嚴格的檢驗
5.驗證再驗證
6.一種很不同的情形
7.類比
8.空間的分割
9.修改一下問題的提法
10.一般化、特殊化、類比
11.一個類似的問題
12.類似問題的一張表格
13.解決一大批問題有時比解決單獨一個問題更容易
14.一個猜想
15.預言與證明
16.再來一次，使它更好
17.歸納法引向演繹法；特例引向一般證明
18.更多的猜想
第三章的例題和注釋，l～41.[21.歸納過程：思想的適應，語言的適應.31.笛卡兒對多面體的研究工作.36.立體補角，互補球面多邊形.]
第四章 數論中的歸納方法
1.邊長為整數的直角三角形
2.平方和
3.關於四奇數平方和問題
4.考察一個例子
5.把觀察結果列成表
6.有什麼規則
7.關於歸納發現未知事物的性質
8.關於歸納證據的性質
第四章的例題和注釋,1～26.[1.符號表示法.26.歸納法的危險.]
第五章 歸納法雜例
l.函數的展開式
2.近似式
3.極限
4.設法推翻它
5.設法證明它
6.歸納階段的作用
第五章的例題和注釋，1～18.［15.解釋觀察到的規律性.16.把觀察到的事實進行分類.18.差別是什麼？］
第六章 更一般性的陳述
1.歐拉
2.歐拉的研究報告
3.從實踐到抽象的一般觀點
4.歐拉研究報告的概述
第六章的例題和注釋，l～25.［1.母函數.7.平面幾何的一個組合問題.10.平方和.19.另一個遞推公式.20.整數因子和的另一個奇特規律.24.歐拉怎樣遺漏一個發現.25.歐拉定理關於σ(n)的一種推廣.］
第七章 數學歸納法
1.歸納階段
2.論證階段
3.研究的飛躍
4.數學歸納法的技巧
第七章的例題和注釋，l～18.［12.多證可能反而更省事.14.權衡你的定理.15.展望.17.任何n個數都相等嗎？］
第八章 極大和極小
1.模式
2.例子
3.相切的等高線模式
4.兩個例子
5.局部變動的模式
6.算術平均與幾何平均的定理及其初步推論
第八章的例題和注釋，1～63；[ 第一部分，1～32；第二部分，33～63].[1.平面幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平面上的等高線.4.空間中的等值面.11.穿過尊等高線的原則.22.局部變動原則.23.極值的存在性.24.局部變動模式的一個變形：無限過程.25.局部變動模式的另一個變形：有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多面體.面積和周長.體積和表面.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圓柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正對頂棱錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂棱錐.43.幾何應用於代數.45.代數應用於幾何.51.具有正方形底的正棱錐.52.正圓錐.53.一般的正棱錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]
第九章 物理數學
1.光學解釋
2.力學解釋
3.反復解釋
4.吉恩·伯努利關於捷線的發現
5.阿基米德關於積分法的發現
第九章的例題和注釋，1～38.［3.內接於已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點交通中心.10.平面上四點交通中心.11.四點交通網.12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多面體表面上的最短線.24.曲面上的最短線（測地線）.26.折紙法的一個設計.27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那麼深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截面平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的回顧。］
第十章 等周問題
1.笛卡兒的歸納理由
2.潛在的理由
3.物理原因
4.瑞利的歸納理由
5.導出結論
6.證明結論
7.非常密切的關系
8.等周定理的三種形式
9.應用與問題
第十章的例題和注釋，1～43；[第一部分，1～15；第二部分，16～43］.［1.回顧.2.你能用不同的方法推出某些部分的結果嗎？3.比較詳細地重新敘述.7.你能將此方法用於其他某些問題嗎？8.等周定理的更清晰的形式.16.桿和繩.21.兩根桿和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平面區域的等分錢.34.封閉曲面的等分線.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由］
第十一章 更多種類的合情推理
1.猜一猜
2.根據有關情形判定
3.根據一般情形判定
4.提出一個比較簡單的猜想
5.背景
6.無窮盡的過程
7.常用的啟發性假設
第十一章的例題和注釋，1～23.［16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啟發性假設.21.樂觀的報酬.23.數值計算與工程師.]
后紀
問題的解答
參考文獻

本書宥彼此緊密聯系的各種冒的。首先，想給學習數學的學生和從事數學工作的教師在一個重要的但卻通常被忽視的方面提供一些幫助。然而，在某種意義上說本書也是一種哲學論述。本書又是一部續篇，而且它本身也還要有續篇， 我將逐一地談到上述各點。

1．嚴格地說，除數學和論證邏輯（其實它也是數學的一個分支）外，我們所有的知識都是由一些猜想所構成的。當然，有種種猜想。有表述成物理科學中某些一般定律的非常可貴而又可靠的猜想。也有另外一些既不可靠又不可貴的猜想，其中有一些當你在報紙上讀到它時不禁會使你憤怒。而介於上述兩種猜想之間還有各種各樣的猜想、預感和推測。

我們借論證推理來肯定我們的數學知識，而借合情推理來為我們的猜想提供依據。 一個數學上的證明是論證推理，而物理學家的歸納論證，律師的案情論證，歷史學家的史料論證和經濟學家的統計論證都屬於合情推理之列。

這兩種推理之間的差異相當大而且是多方面的。無疑，論證推理是可靠的、無可置辯的和終決的。合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的。論證推理在科學中的滲透深度恰好和數學在科學中的滲透深度一樣，但是論證推理本身（如數學本身那樣）並不能產生關於我們周圍世界本質上的新知識。我們所學到的關於世界的任何新東西都包含着合情推理，它是我們日常事務中所關心的僅有的一種推理。論證推理有被邏輯（形式邏輯或論證邏輯）所制定和闡明的嚴格標准，而邏輯則是論證推理的一種理論。合情推理的標准是不固定的，並且這種推理在清晰程度上不能與論證邏輯相比或能博得相似的公認。2．關於這兩種推理還有一點也是值得我們注意的。眾所周知，數學提供了一個學習論證推理的極好機會，但是我還要着重指出，在學校慣常的課程中，還沒有一門能提供類似的機會來學習合情推理。現在，我要向各年級所有對數學有興趣的學生提出：的確，我們應該學習證明法，但我們也要學習猜測法。

這聽起來似乎有點矛盾，因此我必須強調說明幾點以免發生誤會。

數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面。以最后確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程△樣的。在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路。你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比。你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麼就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。

正如我們說過的，有兩種推理：論證推理和合情推理。在我看來它們互相之間並不矛盾，相反地，它們是互相補充的。在嚴格的推理之中，首要的事情是區別證明與推測，區別正確的論證與不正ˉ確的嘗試。而在合情推理之中，首要的事情是區別一種推測與另一種推測，區別理由較多的推測與理由較少的推測。如果你把注意力引導到這兩種區別上來，那麼就會對這兩者有更清楚的認識。

一個認真想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證推理；這是他的專業也是他那門科學的特殊標志。然而為了取得真正的成就他還必須學習合情推理；這是他的創造性工作所賴以進行的那種推理。一般的或者對數學有業余愛好的學生也應該體驗一下論證推理： 雖然他不會有機會去直接應用它，但是他應該獲得一種標准，依此他能把現代生活中所碰到的各種所謂證據進行比較。然而在他的所有工作之中他必將需要合情推理。總之，一個對數學有抱負的學生，不管他將來的興趣如何，他應該力求學習兩種推理：論證推理和合情推理。

3，我不相信有十拿九穩的方法，用它可以學會猜測。不管怎麼說，即使有這樣一種方法，我至少也是沒有聽說過，而且我肯定不自命為能在下文中提出這種方法。有效地應用合情推理是一種實際技能，並且像任何其他實際技能一樣，要通過模仿和練習來學會它。我將為渴望學習合情推理的讀者盡最大努力，然而我所能提供的也僅僅是供模仿的例子和練習的機會。

在本書中，我將時常討論數學里大大小小的發現。 我不可能講怎樣得出這些發現的真實過程，因為沒有人真正知道它。然而我將力求寫出一個發現可能是如何產生的過程來。我還想強調指出獲得發現的動機，導致發現的合情推理，總之，想強調指出值得模仿的任何事情。當然，我力求把內容講得生動些使讀者留下印象；這是我作為教師和作者的義務。然而我將在關系重大之處對讀者完全誠實：我只是想把看來是真實的並且是對我有幫助的東西講得能使讀者留下印象。

每章后面都有例題和注釋。注釋所闡述的內容相對正文來說是過於專門或者是太微細了，有的則是偏離了主題的一些東西。某些練習給讀者以機會來重新細致地考慮在正文中只是概略地敘述過的內容。然而大多數練習使讀者能得出他自己的合情結論。在着手解章末所提出的較為困難的問題之前，讀者應該仔細地閱讀這章的有關部分，並且也應該看一下鄰近的問題，前者或后者之中可能包含着解決問題的線索。為了提供（或埋伏）這樣的線索，使讀者在學習上受益最大，我不僅在提出問題的內容和形式上，而且也在問題的先后次序安排上花了許多心思。事實上，我在仔細考慮這些問題的安排上所花的時間和心思，要比局外人所能想像的或認為必要的要多得多。

為了擴大讀者的范圍，我力求用盡可能初等的例子來說明每個重要的論點。然而在有些情況下我不得不舉出不太初等的例子以便使我的論點足以令人難忘。誠然，我覺得我也應該舉出有歷史價值的例子，有真正的數學美的例子，並舉出在其他科學方法或日常生活中有類似做法的例子。

……