非線性及泛函分析：數學分析中的非線性問題講義

譯者的話
記號與術語
序言
對讀者的建議
第一部分預備知識
第一章 背景材料
1．1非線性問題如何產生
1．1A微分幾何學上的來源
1．1B數學物理中的來源
1．1c變分學中的來源
1．2遭遇的典型困難
1．2A固有的困難
1．2B非固遙困難
1．3來自泛函分析的細節
1.3A Banach空間和Hibert空間
1.3B一些有用的Banach空間
1.3C有界線性泛函和弱收斂
1.3D緊性
1.3E有界線性算子
1.3F特殊類型的有界線性算子
1.4不等式與估計
1.5微分系統的經典解和廣義解
1.6有限維空間之間的映射
第二章 非線性算子
第二部分 局部分析
第三章 單個映身的局部分析
第四章 依賴於參數的擾動現象
第三部分 大范圍分析
第五章 一般非線性算子的全局性理論
第六章 梯度映身的臨界點理論
附錄A 關於微分流形
附錄B 關於微分形式的Hodge-Kodaira分解
參考文獻
漢英數學詞匯對照

幾十年來，數學的主要興趣集中在與線性算子有關的問題上，以及將線性代數已知結果推廣到無窮維情況．這極具遠見灼識，而由此發展出來的豐富理論對整個數學科學都有深遠的影響．在剔除線性這一假設條件時，有關的算子理論以及許多與這種理論有關的具體問題描繪出了數學研究的前景．迄今為止，在這方面已獲得的基本結果構成了線性理論深刻而又完美的拓展．正如線性情況一樣，這些結果源於數學分析中的具體問題，並與之密切相關．展現於此的這本講義，其目的是系統地描述這些基本的非線性結果及其對各種來自數學分析不同領域的具體問題的應用．

此外，我在盡可能廣泛的意義下使用「數學分析」這一術語，而這個用法遵循着Henri POincae(我們這個學科的偉大先驅之一)的思想．事實上，仔細審視自然出現在實和復流形微分幾何、經典的和現代的數學物理以及變分學的研究中特定的非線性問題，就能發現必然會導致深刻數學結果的那些反復出現的模型．

從抽象觀點出發，主要有兩種手段處理該課題．如上所述。第一種手段是將Fredholm，Hilbert，Riesz，Banach和vOn Neu—mann等人線性泛函分析的特定結果推廣到更一般的非線性情況．第二種手段是視該學科為流形及流形間映射的無窮維微分幾何學．顯然，這些手段密切相關，而當它們與現代拓撲結合在一起使用時，就成了強有力的數學思維模式．

最后，在上述兩種手段之外，還存在着真正適合既是非線性的又是無窮維的現象．能認清這些事實的那個框架仍在發展中．

本書的內容分為三個部分來講述，而每一部分均含兩章．第一部分首先涉及到研究的動因和理解本書后面展開的內容所必需的數學預備知識，其后提供非線性算子基本的微積分內容並對其分類．第二部分涉及到局部分析．在第三章，我們討論經典反函數定理和隱函數定理的各種無窮維推廣．同時，為了研究算子方程，也討論了Newt(m法，最速下降法和強函數法．第四章，我們將注意力轉向與分歧和奇異擾動問題有關的那些依賴於參數的擾動現象．這一章中，拓撲(「超越」)方法的應用是它首次成功的亮相．這本書的第三部分和最后部分講述了大范圍分析，並指出了將具體分析與超越方法相結合的必要性．第五章發展了可用於一般算子類的全局性方法，特別是討論了映射度的各種理論和應用及其與球面高階同倫群有關的最新進展，還討論了線性化方法和投影法．第六章講述大范圍變分學及其在現代臨界點理論中的最新進展，這個材料很自然地來自與臨界點有關的極小化問題和等周問題．

本書的一個主要課題是將得到的抽象結果用於解決幾何與物理中引人入勝的問題．書中提到的應用是這樣選擇的：既考慮其內在意義，也考慮它們與本書中提到的抽象內容的關系．在很多情況下，特定的例子需要理論的推廣，從而為進一步的發展提供動力．我們希望，提到的那些較深刻較復雜的應用將能提高這門快速發展的學科的價值及意義．

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