數學為什麼：我的第一本數學小百科‧關於形狀和數字的驚奇

目錄
6　 關於本書
8　 什麼是數學？ 還有數學從哪兒來的？
10　日常的數學 數學如何圍繞在我們四周
12　數學小簡史 重大數學事件時間軸
14　數學名人堂 過去與現在的偉大數學家
16　大獎頒給的是 ⋯⋯ 看看榮獲大獎的數字
18　一的世界 世界各地的計數
20　來自其他世界的訊息 看看為何 1 ＋ 1 ＝ 10
22　非常大的數學 次方的力量
24　非常小的數學 負次方的力量
26　大自然的對稱 比較各種對稱
28　院子裡的數學 豌豆與果蠅到底為何會跟數學有關？
30　動物算術 動物也會算數學嗎？
32　藝術裡的數學 數學與藝術有什麼共同點？
34　數學與建築 看看數學如何讓高樓豎起，並屹立不搖
36　不同維度的生命 二維、三維與四維世界的視角
38　無所不在的分數！ 從日常生活到擁有模式的各種分數
40　圓周率在這裡！ 世上最重要的數字之一
42　奇怪的形狀 快用變形的甜甜圈與稀奇古怪的形狀攪亂腦袋吧
44　測量一下 各式各樣測量東西的方法
46　奇怪的測量 銀河年、微亡率與香蕉等效劑量都是什麼測量單位？
48　與數據約會 投入長條圖與圓餅圖的世界吧
50　太大，太小，還有剛剛好 平均到底是什麼？
52　想變成百萬富翁嗎？ 看看數學如何幫你賺錢
54　質數的祕密 近距離接觸這些神祕的數字
56　外太空的形狀 宇宙的一切都與數學有關嗎？
58　數學與音樂 看看為何數學與音樂如此鶼鰈情深
60　快來玩球！ 數學能幫你最愛的球隊獲勝嗎？
62　奇怪的數學真相 用這些不可思議的數學事實嚇嚇你的朋友吧
64　改 —— 改變！ 關於微積分的一切
66　迷信的數學 幸運與不幸的數字
68　這東西有定理？！ 既古怪又美妙的數學定理
70　迷樣的悖論 這聽起來不太合理吧！
72　機率有多高？ 看看什麼有可能，什麼不可能
74　轉呀轉 關於所有會轉的東西
76　未解的難題 數學家都不知道答案的問題！
78　遊戲大豐收！ 看看數學能如何幫你贏得遊戲
80　間諜的數學 潛入密碼的世界
82　哎呀！ 史上最嚴重的數學錯誤
84　如何變成數學天才 教你一些聰明的數學技巧
86　給我更多難題！ 你能解開這些棘手的謎題嗎？
88　解答 問題解答區與詳細解釋
90　專有名詞
93　球錐模版 這是球體？ 還是錐體？ 快來做出屬於你的球錐！
94　索引
 

「有感」閱讀，培養數學素養的好奇種子
文／謝佳叡 國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授 

░「數學總在你意想不到的地方發揮作用！」這是我在大學開授的數學跨領域課程中首要傳達的核心概念，試圖讓那些已經對數學失去興趣與信念的人重新認識數學。由於數學的「不可直接感知」，大多數人產生「生活用不到數學」的迷思並不令人意外，但我們不能責難於此，因為「數學之用」本就無法靠著別人跟我們述說就直接感受到的，必須思考體驗才能理解；換句話說，數學之眼是一種心靈層次，而非感官層次的感知，這也是《數學為什麼：我的第一本數學小百科‧關於形狀和數字的驚奇》這一本書的初衷。本書從日常的數學開始，將各種數學主題，如存款利息、網路密碼、手機音樂、氣象報導、建築……等內容，藏在本書的某個角落等著讀者去挖掘，目的就是希望透過各種不同的例子告訴讀者，我們不能天天使用數學，卻忘恩負義的說：「生活都用不到數學」。

筆者自小生活在臺灣南部偏鄉。當時全村只有一個紅綠燈，孤立設置在唯一一所國小門口。該處並非十字路口，也幾乎沒有車輛會經過，燈號也只在上、下學的時候運作。之所以在這個地方設置紅綠燈，並不是為了實際調節交通任務，而是學校為了讓全鄉的學童體驗「紅燈停、綠燈行」的規則特意申請安裝的，否則孩子沒看過紅綠燈，這個規則也只會是書本上的知識。然而，這個出於善意的設置，卻讓許多接送學童的家長，在等待紅燈時不時的抱怨：「這個地方為什麼要有紅綠燈？」

紅綠燈的設置原本是對路權使用的宣告，學校從教育的觀點與民眾從實用的觀點看其設置的必要性，兩者並不一致，沒有誰對誰錯，只是切入角度的不同。我們還可以從網路上查到更多關於紅綠燈的問題，例如：為什麼燈號是紅、黃、綠三種顏色？這些顏色又代表什麼意義？紅綠燈的設定規則是什麼？……

乍看之下一連串的問題都和數學無關，但如果進一步追問，就發現問題核心圍繞著數學打轉。

例如，使用紅、黃、綠三種燈號，是因為這三種顏色的光波波長較長，不易發生色散，穿透能力強且較不受天候與塵霾影響。而波長，與數學有關。也許有讀者會爭辯，「這是物理，不是數學！」好，我們換個說法。紅綠燈設置的條件有其特別的規定，並非所有路口都能設置，只有每小時汽車的交通量達一定標準的路口才可以設置；而這個標準的設定與判斷，就需要數學計算。

讀者或許又會提出，「這是統計，不是數學！」那麼，我們再換個說法。有關紅綠燈秒數的設定，需要同時考慮車流、路寬、路段速限、號誌時相、人的心理作用等因素，並且涉及到最優化數學模型、賽局理論、壅塞學、排隊理論等原理，像是我們經常使用的「韋伯斯特法」計算方式，就是一個數學模型；甚至，有些學者還會針對車流的數學模型，探討紅路燈與圓環的規劃設計哪個比較好。而這些，都是實打實的數學，只是大家身在其中卻都看不到。當然，我們不需要、也不可能要求每個人懂了這些數學原理才能過馬路，但我們的生活周遭，確實圍繞著數學，甚至可以說，我們的世界是由數學所支配，只是這些數學很多都無法被察覺。

人們會有生活用不到數學感受的另一個原因，是學校在數學課所提供的許多數學例子，並不是從實際生活經驗而來，導致學生感受不到數學如何運用於生活中；像是「雞兔同籠」的數學問題，姑且不論現今誰會把雞和兔同籠飼養，就算真有如此情況，想知道雞兔各有幾隻，為什麼不直接「數」就好了呢？透過頭和腳數量來求解，不是更麻煩嗎？老師們其實都知道，這個問題是為了讓學生學會「利用數量關係解決問題」的想法而刻意設計的，可惜的是，受限於教學場域與教學時間，教師無法對於這些問題從何而來、從何而用有太多著墨。由此來看，在這個講求跨領域的教育思潮下，本書作為學校數學內容加深加廣的課外讀物，顯然是一個絕佳的選擇。

本書想傳遞給讀者的另一個觀念是，數學真正的精神不是在「算」，而是「算」背後的想法。因此，如果把學校數學學習大致分成「為什麼（WHY）要用這個方法來解這個問題？」以及「如何（HOW）把這個答案算出來？」兩個部分，前者的「WHY」才是學校數學真正應該著重的，一旦進入到「如何算出答案」階段，那就是技術層面的問題了。學生會算、能算固然重要，但如果沒有想法，再強的計算能力也將無施力之處。

遺憾的是，我們經常在還沒有好好認識數學背後的意義與原理之前，就開始大量計算的練習，導致學生常常在複雜的計算題卡關，被抽象的數學公式、規則弄得頭昏腦脹，之後不得不放棄。因此，能對數學的意義追本溯源，才能引發學生的學習熱情，而這正是本書所欲倡導的：「其實，數學源自於我們的生活，只要搞懂理論背後的意義和運用原理，數學一點都不難，還很迷人！」換言之，本書的一個核心理念在於，興趣的產生不是憑藉著花俏的教學方法，而是孩子腦中對於瞭解「為什麼」背後真相的渴望。

數學的「實用性」與「趣味性」本就是兩種不同的情意指標，兩者兼備（有用又有趣）固然理想，但退而求其次能具備其一也屬難得。然而在TIMSS的國際數學評比中，臺灣孩童在這兩項數學情意感受中都敬陪末座，這說明我們並沒有在數學教育中，說服孩子們學數學的理由與目標。學生並非一開始就不喜歡數學，許多研究告訴我們，在國小低年級時數學經常是學生最喜歡科目之一，除了數學課堂上教師們經常設計各種有趣的操作活動，更重要的是一開始的數學內容如數字、測量、形狀、時間等，都是伴隨著他們成長的生活元素；帶著經驗進入學習單元，一切都變得那麼有感；而「有感」就會讓學生「有成就感」。

當學校的數學內容隨著年級漸漸脫離具體，「有感」變得更加困難，想要帶著經驗進入學習單元，就必須仰賴廣泛的閱讀。從這本書的內容來看，絕對當得起「數學小百科」這樣的稱號。從跨領域數學普及角度看，本書內容以數學為核心，連結自然、天文、遊戲、建築、人文、音樂、運動、生活等其他領域，也十分值得推薦給非數學專長者作為數學通識教材。從閱讀的年齡層來看，本書內容從最根本的數字起源，到高等數學中的微積分、拓撲學等，適合從兒童到成人的任一個階段。閱讀方式可以從頭一路到尾，也可以隨便翻到某一頁深入探索；讀不懂或沒有興趣的主題，則任意跳開、隨意自在。

最後筆者想說的是，本書最大的價值不在提供完整的數學知識，而是讓讀者能從閱讀中對數學萌生出「為什麼」的好奇種子，而這個好奇種子生根萌芽產生更多的種子，最後孕育出生意盎然的「數學素養」大地。░