黎曼猜想漫談

1 哈代的明信片　
2 黎曼ζ 函數與黎曼猜想　
3 質數的分佈　
4 黎曼的論文—— 基本思維　
5 黎曼的論文—— 零點分佈與質數分佈　
6 錯釣的大魚　
7 從零點分佈到質數定理　
8 零點在哪裡　
9 黎曼的手稿　
10 探求天書　
11 黎曼—— 西格爾公式　
12 休閒課題：圍捕零點　
13 從紙筆到機器　
14 最昂貴的葡萄酒　
15 更高、更快、更強　
16 零點的統計關聯　
17 茶室邂逅　
18 隨機矩陣理論　
19 蒙哥馬利—— 歐德里茲科定律　
20 希爾伯特—— 波利亞猜想　
21 黎曼體系何處覓　
22 波耳—— 蘭道定理　
23 哈代定理　
24 哈代—— 李特爾伍德定理　
25 數學世界的「獨行俠」　
26 臨界線定理　
27 萊文森方法　
28 艱難推進　
29 哪裡沒有零點　
30 監獄來信　
31 與死神賽跑的數學家　
32 從模算術到有限域　
33 「山寨版」黎曼猜想　
34 「豪華版」黎曼猜想　
35 未竟的探索　
附錄A 尤拉乘積公式　
附錄B 超越ZetaGrid　
附錄C 黎曼猜想大事記　

序

　　隨著公眾數學水準的逐漸提高，愈來愈多的人知道黎曼（Riemann）猜想這個問題，我們將它記為RH。特別是RH 曾被希爾伯特（Hilbert）列入他的二十三個問題的第八問題，現在又被列為克萊數學研究所提出的千禧年七大待解決難題之一，備受關注。不少人已經知道RH 是數學中第一號重要問題。

　　但RH 是個什麼問題？為什麼重要？至今似未見一篇有相當深度的普及文章來加以解釋，往往需要參見數學專業著作與文獻，才能窺知一二。因此，一般人恐怕僅僅只知道有這麼一個問題而已。

　　盧昌海在《數學文化》上的六期連載文章《黎曼猜想漫談》，對RH 相關問題作了詳細的解釋。文章中關於數學的闡述是嚴謹的，數學概念是清晰的。文字流暢，其間並穿插了一些流傳的故事，以增加趣味性與可讀性。從這幾方面來看，都是一篇很好的雅俗共賞的數學普及文章。
　　
　　盧昌海的文章還有以下優點：在述及一些重大結果時，作者對這些結果的重要前期成就都作了介紹。例如質數定理、賽爾伯格關於σ= 上的零點個數估計，及韋伊關於山寨版RH 的證明等。又為了釐清文章中涉及的一些概念，作者還特別舉例加以說明。例如在解釋戴德金L 函數時，涉及「理想」這個概念，作者以有理數域Q 與二次域作為例子來說明，所以是深入淺出的。我認為數學系本科高年級學生是可以看懂這篇文章所講的問題、結果與數學概念的含義。對於專職數學家與教師，甚至數論學家，也值得閱讀。我想他們對於RH的瞭解基本上是在學習與研究數學的過程中，零星地與積累地瞭解到的。如果有機會系統地瞭解一下RH ，也會極有好處。因此我願意向大家推薦盧昌海的文章。

　　我還想提出一點意見：若僅從題意表面來看，RH 只是研究一個特殊的亞純函數ζ(s) 的零點性質。若從亞純函數的理論來看，它只是一個例子而已。就像研究FLT 與GC 一樣，研究它們的目的主要在於發展數學中的新思想與新方法。具體言之，這兩個問題都是數學中「下金蛋的母雞」。

　　從過去的研究來看，RH 當然是數學中下金蛋的母雞，但研究它的目的，遠遠不止於此。它之所以成為數學中第一重要問題，主要是由於一系列的數學中重大問題的解決都依賴於各種RH 的解決。一旦這些RH 解決了，人類就站在一個不知比現在高多少的數學平臺上，看到更遠得多的風景。

　　到底各種RH 可以推出多少數學結果？要求弄清楚這麼多東西恐怕是太難了。如果盧昌海這篇文章還要繼續寫下去，也許可以考慮寫一些各種RH 的推廣。這會使讀者更能瞭解到解決各種RH 的巨大意義。

　　最後，我願借此機會祝盧昌海文章的成功，並盼望見到它能夠成書出版，使更多讀者能讀到，並從中受益。