第1章 0 的故事——無即是有
本章學習內容 2
小學一年級的回憶 2
10進制計數法 3
什麼是10進制計數法 3
分解2503 3
2進制計數法 4
什麼是2進制計數法 4
分解1100 5
基數轉換 6
電腦中為什麼採用2 進制計數法 8
按位元數目法 10
什麼是按位元數目法 10
不使用按位元數目法的羅馬數字 11
指數法則 12
10的0次方是什麼 12
10–1是什麼 13
規則的擴展 14
對20進行思考 14
2–1是什麼 15
0所起的作用 16
0的作用：占位 16
0的作用：統一標準，簡化規則 16
日常生活中的0 17
人類的極限和構造的發現 18
重溫歷史進程 18
為了超越人類的極限 19
本章小結 20
第2章 邏輯——真與假的二元世界
本章學習內容 22
為何邏輯如此重要 22
邏輯是消除歧義的工具 22
致對邏輯持否定意見的讀者 23
乘車費用問題—兼顧完整性和排他性 23
收費規則 23
命題及其真假 24
有沒有“遺漏” 24
有沒有“重複” 25
畫一根數軸輔助思考 26
注意邊界值 27
兼顧完整性和排他性 28
使用if 語句分解問題 28
邏輯的基本是兩個分支 29
建立複雜命題 29
邏輯非—不是A 30
邏輯與—A並且B 32
邏輯或—A或者B 34
異或—A或者B（但不都滿足） 37
相等—A和B相等 39
蘊涵—若A則B 40
囊括所有了嗎 45
德摩根定律 46
德摩根定律是什麼 46
對偶性 47
坎諾圖 48
二燈遊戲 48
首先借助邏輯運算式進行思考 49
學習使用坎諾圖 50
三燈遊戲 52
包含未定義的邏輯 54
帶條件的邏輯與（&&） 55
帶條件的邏輯或（||） 57
三值邏輯中的否定（!） 58
三值邏輯的德摩根定律 59
囊括所有了嗎 60
本章小結 60
第3章 餘數——週期性和分組
本章學習內容 64
星期數的思考題(1) 64
思考題（100 天以後是星期幾） 64
思考題答案 65
運用餘數思考 65
餘數的力量—將較大的數字除一次就能分組 65
星期數的思考題(2) 66
思考題（10100 天以後是星期幾） 66
提示：可以直接計算嗎 67
思考題答案 67
發現規律 68
直觀地把握規律 68
乘方的思考題 70
思考題（1 234 567987 654 321） 70
提示：通過試算找出規律 70
思考題答案 70
回顧：規律和餘數的關係 71
通過黑白棋通信 71
思考題 71
提示 73
思考題答案 73
同位 74
同位檢查位元將數位分為2 個集合 74
尋找戀人的思考題 74
思考題（尋找戀人） 74
提示：先試算較小的數 75
思考題答案 75
回顧 76
鋪設草席的思考題 77
思考題（在房間裡鋪設草席） 77
提示：先計算一下草席數 78
思考題答案 78
回顧 79
一筆劃的思考題 79
思考題（哥尼斯堡七橋問題） 79
提示：試算一下 80
提示：考慮簡化一下 81
提示：考慮入口和出口 82
思考題答案 82
同位 85
本章小結 86
第4章 數學歸納法——如何征服無窮數列
本章學習內容 88
高斯求和 88
思考題（存錢罐裡的錢） 88
思考一下 89
小高斯的解答 89
討論一下小高斯的解答 89
歸納 91
數學歸納法—如何征服無窮數列 91
0 以上的整數的斷言 92
小高斯的斷言 93
什麼是數學歸納法 93
試著征服無窮數列 94
用數學歸納法證明小高斯的斷言 95
求出奇數的和—數學歸納法實例 96
通過數學歸納法證明 96
圖形化說明 98
黑白棋思考題—錯誤的數學歸納法 99
思考題（黑白棋子的顏色） 99
提示：不要為圖所惑 100
思考題答案 101
程式設計和數學歸納法 101
通過迴圈表示數學歸納法 101
迴圈不變式 104
本章小結 107
第5章 排列組合——解決計數問題的方法
本章學習內容 110
計數—與整數的對應關係 110
何謂計數 110
注意“遺漏”和“重複” 111
植樹問題—不要忘記0 111
植樹問題思考題 111
加法法則 115
乘法法則 118
置換 121
歸納一下 122
思考題（撲克牌的擺法） 123
排列 124
歸納一下 126
樹狀圖—能夠認清本質嗎 128
組合 130
歸納一下 131
置換、排列、組合的關係 133
思考題練習 134
重複組合 135
也要善於運用邏輯 137
本章小結 140
第6章 遞迴——自己定義自己
本章學習內容 144
漢諾塔 144
思考題（漢諾塔） 145
提示：先從小漢諾塔著手 145
思考題答案 148
求出解析式 150
解出漢諾塔的程式 151
找出遞迴結構 152
再談階乘 154
階乘的遞迴定義 154
思考題（和的定義） 155
遞迴和歸納 156
斐波那契數列 156
思考題（不斷繁殖的動物） 157
斐波那契數列 159
帕斯卡三角形 162
什麼是帕斯卡三角形 162
遞迴定義組合數 165
組合的數學理論解釋 165
遞迴圖形 167
以遞迴形式畫樹 167
實際作圖 168
謝爾平斯基三角形 170
本章小結 171
第7章 指數爆炸——如何解決複雜問題
本章學習內容 174
什麼是指數爆炸 174
思考題（折紙問題） 174
指數爆炸 177
倍數遊戲—指數爆炸引發的難題 178
程式的設置選項 178
不能認為是“有限的”就不假思索 180
二分法查找—利用指數爆炸進行查找 180
尋找犯人的思考題 180
提示：先思考人數較少的情況 181
思考題答案 182
找出遞迴結構以及遞推公式 183
二分法查找和指數爆炸 185
對數—掌握指數爆炸的工具 186
什麼是對數 187
對數和乘方的關係 187
以2為底的對數 188
以2為底的對數練習 189
對數圖表 189
指數法則和對數 191
對數和計算尺 192
密碼—利用指數爆炸加密 195
暴力破解法 195
字長和安全性的關係 196
如何處理指數爆炸 197
理解問題空間的大小 197
四種處理方法 198
本章小結 199
第8章 不可解問題——不可解的數、無法編寫的程式
本章學習內容 202
反證法 202
什麼是反證法 202
質數思考題 204
反證法的注意事項 205
可數 205
什麼是可數 205
可數集合的例子 206
有沒有不可數的集合 208
對角論證法 209
所有整數數列的集合是不可數的 209
所有實數的集合是不可數的 213
所有函數的集合也是不可數的 214
不可解問題 215
什麼是不可解問題 215
存在不可解問題 216
思考題 217
停機問題 218
停機 218
處理常式的程式 219
什麼是停機問題 219
停機問題的證明 221
寫給尚未理解的讀者 224
不可解問題有很多 226
本章小結 226
第9章 什麼是程式師的數學——總結篇
本章學習內容 230
何為解決問題 233
認清模式，進行抽象化 233
由不擅長催生出的智慧 233
幻想法則 234
程式師的數學 235
附錄 邁向機器學習的第 一步
本附錄學習內容 238
什麼是機器學習 239
受到廣泛關注的機器學習技術 239
機器學習是隨著時代發展誕生的技術 239
預測問題和分類問題 240
預測問題 240
分類問題 243
感知器 245
什麼是感知器 245
加權求和 247
啟動函數 249
感知器小結 250
機器學習是如何“學習”的 250
學習的流程 250
訓練資料與測試資料 251
損失函數 252
梯度下降法 254
作為程式師要做些什麼 256
神經網路 256
什麼是神經網路 256
誤差反向傳播法 258
深度學習和強化學習 259
人類就這樣沒用了嗎 260
附錄小結 261
