實變函數作為學習近代分析數學的基礎課程,其內容早已有了比較明確的陳述和成熟的體系。然而,從教學的角度審視,如何將其中豐富的內涵表現出來,切能比較順暢的傳遞給初學者,還有許多事情可做。
這次修訂的工作,主要是對內容上進行一些調整。一是把一些難度過高的習題刪去,增加一些更適應學生理解的習題。二是對一些過時的內容進行刪減,增加一些新穎的、適合時代發展的內容。
周民強,北京大學數學科學學院教授。1956年大學畢業,從事調和分析(實變方法)的研究,並擔任數學分析、實變函數、泛函分析、調和分析等課程的教學工作四十余年,具有豐富的教學經驗。出版教材和譯着多部。
出版的教材有《數學分析》《實變函數論》(普通高等教育「九五」教育部重點教材)《實變函數解題指南》《調和分析講義》《數學分析習題演練》《微積分專題論叢》等,多次獲得北京大學教學獎和教學成果獎。曾任北京大學數學系函數論教研室主任、《數學學報》和《數學通報》編委、北京市自學考試命題委員等職。
目錄
積分論評述
第一章 集合與點集
1.1 集合與子集合
1.2 集合的運算
1.3 映射與基數
1.4 Rn中點與點之間的距離•點集的極限點
1.5 Rn中的基本點集:閉集•開集•Borel集•Cantor集
1.6 點集間的距離
習題1
注記
第二章 Lebesgue測度
2.1 點集的Lebesgue外測度
2.2 可測集與測度
2.3 可測集與Borel集的關系
2.4 正測度集與矩體的關系
2.5 不可測集
2.6 連續變換與可測集
習題2
注記
第三章 可測函數
3.1 可測函數的定義及其性質
3.2 可測函數列的收斂
3.3 可測函數與連續幽數的關系
習題3
注記
第四章 Lebesgue積分
4.1 非負可測函數的積分
4.2 一般可測函數的積分
4.3 可積函數與連續函數的關系
4.4 Lebesgue積分與Riemann積分的關系
4.5 重積分與累次積分的關系
習題4
注記
第五章 微分與不定積分
5.1 單陶函數的可微性
5.2 有界變差函數
5.3 不定積分的微分
5.4 絕對連續甬數與微積分基本定理
5.5 分部積分公式與積分中值公式
5.6 R上的積分換元公式
習題5
注記
第六章 Lp空間
6.1 Lp空間的定義與不等式
6.2 Lp空間的結構
6.3 L2內積空間
6.4 Lp空間的范數公式
6.5 卷積
6.6 弱收斂
習題6
注記
附錄
(Ⅰ)Rn上不定積分的微分定理與積分換元公式
(Ⅱ)勒貝格傳
(Ⅲ)部分思考題及習題的參考解答或提示
(Ⅳ)人名表
參考書目
第一章 集合與點集
1.1 集合與子集合
1.2 集合的運算
1.3 映射與基數
1.4 Rn中點與點之間的距離•點集的極限點
1.5 Rn中的基本點集:閉集•開集•Borel集•Cantor集
1.6 點集間的距離
習題1
注記
第二章 Lebesgue測度
2.1 點集的Lebesgue外測度
2.2 可測集與測度
2.3 可測集與Borel集的關系
2.4 正測度集與矩體的關系
2.5 不可測集
2.6 連續變換與可測集
習題2
注記
第三章 可測函數
3.1 可測函數的定義及其性質
3.2 可測函數列的收斂
3.3 可測函數與連續幽數的關系
習題3
注記
第四章 Lebesgue積分
4.1 非負可測函數的積分
4.2 一般可測函數的積分
4.3 可積函數與連續函數的關系
4.4 Lebesgue積分與Riemann積分的關系
4.5 重積分與累次積分的關系
習題4
注記
第五章 微分與不定積分
5.1 單陶函數的可微性
5.2 有界變差函數
5.3 不定積分的微分
5.4 絕對連續甬數與微積分基本定理
5.5 分部積分公式與積分中值公式
5.6 R上的積分換元公式
習題5
注記
第六章 Lp空間
6.1 Lp空間的定義與不等式
6.2 Lp空間的結構
6.3 L2內積空間
6.4 Lp空間的范數公式
6.5 卷積
6.6 弱收斂
習題6
注記
附錄
(Ⅰ)Rn上不定積分的微分定理與積分換元公式
(Ⅱ)勒貝格傳
(Ⅲ)部分思考題及習題的參考解答或提示
(Ⅳ)人名表
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