數學女孩

致讀者 1
序言 1

第1章 數列和數學模型 1
1.1 櫻花樹下 1
1.2 自己家 5
1.3 數列智力題沒有正確答案 8

第2章 一封名叫數學公式的情書 13
2.1 在校門口 13
2.2 心算智力題 14
2.3 信 15
2.4 放學後 16
2.5 階梯教室 17
2.5.1 質數的定義 19
2.5.2 絕對值的定義 23
2.6 回家路上 25
2.7 自己家 27
2.8 米爾嘉的解答 31
2.9 圖書室 33
2.9.1 方程式和恆等式 33
2.9.2 積的形式與和的形式 37
2.10 在數學公式另一頭的人到底是誰 41

第3章 ω的華爾茲 43
3.1 圖書室 43
3.2 振動和旋轉 46
3.3 ω 53

第4章 斐波那契數列和生成函數 61
4.1 圖書室 61
4.1.1 找規律 62
4.1.2 等比數列的和 64
4.1.3 向無窮級數進軍 64
4.1.4 向生成函數進軍 66
4.2 抓住斐波那契數列的要害 68
4.2.1 斐波那契數列 68
4.2.2 斐波那契數列的生成函數 70
4.2.3 封閉表達式 71
4.2.4 用無窮級數來表示 73
4.2.5 解決 75
4.3 回顧 79

第5章 基本不等式 81
5.1 在「神樂」 81
5.2 滿是疑問 83
5.3 不等式 85
5.4 再進一步看看 94
5.5 關於學習 97

第6章 在米爾嘉旁邊 103
6.1 微分 103
6.2 差分 107
6.3 微分和差分 109
6.3.1 一次函數x 110
6.3.2 二次函數x2 111
6.3.3 三次函數x3 113
6.3.4 指數函數e x 115
6.4 在兩個世界中往返的旅行 117

第7章 卷積 121
7.1 圖書室 121
7.1.1 米爾嘉 121
7.1.2 泰朵拉 125
7.1.3 推導公式 125
7.2 在回家路上談一般化 129
7.3 在咖啡店談二項式定理 130
7.4 在自己家里解生成函數 140
7.5 圖書室 146
7.5.1 米爾嘉的解 146
7.5.2 研究生成函數 152
7.5.3 圍巾 155
7.5.4 最後的要塞 156
7.5.5 攻陷 159
7.5.6 半徑是0 的圓 163

第8章 調和數 167
8.1 尋寶 167
8.1.1 泰朵拉 167
8.1.2 米爾嘉 169
8.2 圖書室里的對話 170
8.2.1 部分和與無窮級數 170
8.2.2 從理所當然的地方開始 173
8.2.3 命題 175
8.2.4 對於所有的┅┅ 178
8.2.5 存在┅┅ 180
8.3 螺旋式樓梯的音樂教室 184
8.4 令人掃興的? 函數 186
8.5 對無窮大的過高評價 187
8.6 在教室中研究調和函數 194
8.7 兩個世界、四種運算 197
8.8 已知的鑰匙、未知的門 203
8.9 如果世界上只有兩個質數 205
8.9.1 卷積 206
8.9.2 收斂的等比數列 207
8.9.3 質因數分解的唯一分解定理 208
8.9.4 質數無限性的證明 209
8.10 天象儀 213

第9章 泰勒展開和巴塞爾問題 217
9.1 圖書室 217
9.1.1 兩張卡片 217
9.1.2 無限次多項式 219
9.2 自學 222
9.3 在那家叫「豆子」的咖啡店 224
9.3.1 微分的規則 224
9.3.2 更進一步微分 227
9.3.3 sin x 的泰勒展開 230
9.3.4 極限函數的圖像 233
9.4 自己家 237
9.5 代數學基本定理 239
9.6 圖書室 245
9.6.1 泰朵拉的嘗試 245
9.6.2 要到達哪里 248
9.6.3 向無限挑戰 255

第10章 分拆數 259
10.1 圖書室 259
10.1.1 分拆數 259
10.1.2 舉例 261
10.2 回家路上 267
10.2.1 斐波那契手勢 267
10.2.2 分組 269
10.3 「豆子」咖啡店 271
10.4 自己家 273
10.5 音樂教室 278
10.5.1 我的發言（分拆數的生成函數） 279
10.5.2 米爾嘉的發言（分拆數的上限） 287
10.5.3 泰朵拉的發言 292
10.6 教室 296
10.7 尋找更好的上限之旅 298
10.7.1 以生成函數為出發點 299
10.7.2 「第一個轉角」積變為和 300
10.7.3 「東邊的森林」泰勒展開 301
10.7.4 「西邊的山丘」調和數 307
10.7.5 旅行結束 308
10.7.6 泰朵拉的回顧 311
10.8 明天見 312
尾聲 315
結語 319
參考文獻和導讀 321