代數基本概念

《數學概覽》序言
中文版前言
前言
第1節 什麼是代數？
坐標化的思想．例子：量子力學詞匯表，關聯公理和平行性的有限
模型的坐標化．
第2節 域
域的公理，同構．獨立變量的有理函數域；平面代數曲線的函數域．
Laurent級數域和形式Laurent級數域．
第3節 交換環
環的公理：零因子和整環．分式域．多項式環．平面代數曲線上的
多項式函數環．冪級數環與形式冪級數環．Boole環．環的直和．
連續函數環．因子分解；唯一因子分解整環(UFD)，UFD的例子．
第4節 同態和理想
同態，理想，商環．同態定理．函數環中的限制同態．主理想整環；
與UFD的關系．理想的積．域的特征．給定多項式有根的擴張．
代數閉域．有限域．用極大理想和素理想上的函數表示一般環的
元素．作為函數的整數．超積與非標准分析．交換的微分算子．
第5節 模
直和與自由模．張量積．模的張量冪、對稱冪和外冪，對偶模．等價
的理想和模的同構．微分形式模和向量場．向量空間族與模族．
第6節 從代數角度看維數
模的秩．有限型模．主理想整環上的有限型模．Noether模和
Noether環．Noetber環和有限型環．分次環的情形．擴張的超越
次數．有限擴張．
第7節 無窮小概念的代數觀點
模2階無窮小的函數和流形的切空間．奇點．向量場與1階微分
算子．高階無窮小．射流和微分算子．環的完備化，p進數．賦范域．
有理數域和有理函數域的賦值．數論中的p進數域．
第8節 非交換環
基本定義．環上的代數．模的自同態環．群代數．四元數與可除代
數．扭曲子纖維化．可除代數上n維向量空間的自同態．張量代數
和非交換多項式環．外代數；超代數；Clifford代數．單環和單代數．
可除代數上向量空間白同態環的左理想和右理想．
第9節 非交換環上的模
模和表示．代數用矩陣形式的表示．單模，合成列，Jordan-Holder．
定理．環或模的長度．模的自同態環．Schur引理．
第10節 半單模和半單環
半單性．群代數是半單的．半單環上的模．有限長度的半單環；
Wedderburn定理．有限長度的單環與射影幾何基本定理．因式和
連續幾何．代數閉域上有限秩的半單代數．對有限群表示的應用．
第11節 有限秩的可除代數
R或有限域上的有限秩可除代數．Tsen定理和擬代數閉域．p進數
域和有理域上有限秩的中心可除代數．
第12節 群的概念
變換群，對稱，自同構．動力系統的對稱和守恆律．物理定律的對
稱．群，正則作用．子群，正規子群，商群．元素的階．理想類群．
模的擴張的群．Brauer·群．兩個群的直積．
第13節 群的例子：有限群
對稱群和交錯群．正多邊形和正多面體的對稱群．格的對稱群．
晶體的類．由反射生成的有限群．
第14節 群的例子：無限離散群
離散變換群．晶體群．Lobachevsky平面的離散運動群．模群．
自由群．由生成元和關系確定的群．邏輯問題．基本群．紐結群．
辮群．
第15節 群的例子：Lie群和代數群
Lie群．環面．在Liouville定理中的作用．
A．緊致Lie群
典型的緊致群以及它們之間的一些關系．
B．復解析Lie群
典型的復Lie群．其他一些Lie群．Lorentz群．
C．代數群
代數群，addle群．Tamagawa數．
第16節 群論的一般結果
直積．Wedderburn-Remak-Shmidt定理．合成列，Jordan-Holder
定理．單群，可解群．單緊致Lie群．單復Lie群．有限單群，分類．
第17節 群表示
A．有限群的表示
表示，正交關系．
B．緊致Lie群的表示
緊致群的表示．在群上積分．Helmholtz-Lie理論．緊致Abel群
的特征標和Fourier級數．4維Riemann幾何中的Weyl和
Ricci張量．SU(2)和SO(3)的表示．Zeeman效應．
C．典型復Lie群的表示
非緊致Lie群的表示．有限維典型復Lie群表示的完全不可約性．
第18節 群的一些應用
A．Galois理論
Calois理論．根式解方程．
B．線性微分方程的Galois理論(Picard-Vessiot理論)
C．非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群．
D．不變式理論
不變式理論的第一基本定理．
E．群表示和基本粒子的分類
第19節 Lie代數和非結合代數
A．Lie代數
Poisson括號作為Lie代數的例子．Lie環和Lie代數．
B．Lie理論
Lie群的Lie代數．
C．Lie代數的應用
Lie群與剛體運動．
D．其他非結合代數
Cayley數．8維空間的6維子流形上的殆復結構．非結合的
實可除代數．
第20節 范疇
圖和范疇．泛映射問題．函子．拓撲中發生的函子：圈空間，雙角
錐．范疇中的群對象．同倫群．
第21節 同調代數
A．同調代數概念的拓撲起源
復形及其同調．多面體的同調和上同調．不動點定理．微分形式
和de Rham上同調；de Rham定理．長正合上同調序列．
B．模和群的上同調
模的上同調．群上同調．離散群上同調的拓撲意義．
C．層上同調
層；層上同調．有限性定理．Riemann—Roch定理．
第22節 K-理論
A．拓撲K-理論
向量叢和函子Vec(X)．周期性和函子Kn(X)．K1(X)和無限
維線性群．橢圓微分算子的符號．指標定理．
B．代數K-理論
投射模類的群．環的Ko，K1和Kn域的K2及其與Brauer
群的關系．K-理論和算術．
關於文獻的注釋
參考文獻
人名索引
主題索引