數學世紀︰過去100年間30個重大問題

譯者序
前言
致謝
導論
第1章 基礎
1.1 1920年代︰集合
1.2 1940年代︰結構
1.3 1960年代︰範疇
1.4 1980年代︰函數
第2章 純粹數學
2.1 數學分析︰勒貝格測度（1902）
2.2 代數︰施泰尼茨對域的分類（1910）
2.3 拓撲學︰布勞威爾的不動點定理（1910）
2.4 數論︰蓋爾芳德的超越數（1929）
2.5 邏輯︰哥德爾的不完全性定理（1931）
2.6 變分法︰道格拉斯的極小曲面（1931）
2.7 數學分析︰施瓦茲的廣義函數論（1945）
2.8 微分拓撲︰米爾諾的怪異結構（1956）
2.9 模型論︰魯賓遜的超實數（1961）
2.10 集合論︰科恩的獨立性定理（1963）
2.11 奇點理論︰托姆對突變的分類（1964）
2.12 代數︰高林斯坦的有限群分類（1972）
2.13 拓撲學︰瑟斯頓對三維曲面的分類（1982）
2.14 數論︰懷爾斯證明費馬大定理（1995）
2.15 離散幾何︰黑爾斯解決開普勒問題（1998）
第3章 應用數學
3.1 結晶學︰比伯巴赫的對稱群（1910）
3.2 張量演算︰愛因斯坦的廣義相對論（1915）
3.3 博弈論︰馮‧諾伊曼的極小極大定理（1928）
3.4 泛函分析︰馮‧諾伊曼對量子力學的公理化（1932）
3.5 概率論︰柯爾莫哥洛夫的公理化（1933）
3.6 優化理論︰丹齊格的單純形法（1947）
3.7 一般均衡理論︰阿羅一德布魯存在性定理（1954）
3.8 形式語言理論︰喬姆斯基的分類（1957）
3.9 動力系統理論︰KAM定理（1962）
3.10 紐結理論︰瓊斯的不變量（1984）
第4章 數學與計算機
4.1 算法理論︰圖靈的刻畫（1936）
4.2 人工智能︰香農對國際象棋對策的分析（1950）
4.3 混沌理論︰勞倫茨的奇怪吸引子（1963）
4.4 計算機輔助證明︰阿佩爾與哈肯的四色定理（1976）
4.5 分形分析︰芒德布羅集（1980）
第5章 未解問題
5.1 數論︰完美數問題（公元前300年）
5.2 復分析︰黎曼假設（1859）
5.3 代數拓撲︰龐加萊猜想（1904）
5.4 復雜性理論︰P=NP問題（1972）
結束語
參考文獻
索引
譯後記

《數學世紀》的意大利文原版是在2000年，也就是20世紀最後一年出版的。正如原版書名《20世紀的數學》（La matematica del Novecento）明確指出的，論述整個20世紀的數學。20世紀的數學比起1900年以前的數學來有著顯著的不同，我們不妨以“博大精深”來概括。從文獻數量來講，20世紀的數學專著及論文數約為1900年以前的50倍到100倍。當然這不是最主要的，最主要的是新興領域及學科的建立與發展以及許多經典問題的解決，同時大量新的更有意義的問題的引入，為整個數學帶來前所未有的活力。

1900年左右，我們還可以看到掌握幾乎全部數學的大數學家，例如龐加萊（H．Poincare）和希爾伯特（DHilbert），而一般數學家則大都“術業有專攻”，他們或是純粹數學家或是應用數學家，或是幾何學家或是分析學家，而數論專家及代數學家則很少。到20世紀初，數學主要分為四塊︰數論、代數、幾何、分析。後兩塊佔主要部分。1900年以後，由于集合論的引入，產生出數理邏輯與結構數學兩大新興領域，這也由原版的副標題“從集合到復雜性”（Dagli insiemi alla complessita）所顯示。復雜性受到重視，顯然由于本書作者就是位邏輯學家，而由布爾巴基學派所倡導的結構數學則是20世紀數學的主流及核心，其中包括抽象代數學、一般拓撲學、泛函分析、測度及積分理論，以及前沿的代數拓撲學、微分拓撲學、代數幾何學及李群李代數理論等。不過，布爾巴基在給數學帶來新鮮血液的同時，也忽略了許多重要的、特別是與計算機應用密切相關的領域，如計算數學、計算機數學、概率論、數理統計以及數學物理和離散數學、運籌優化等等重要分支。顯然，在一本小書中全面顧及這些領域是十分困難的。幸運的是，本書在以布爾巴基為主線的純粹數學與應用數學、計算數學兩方面取得適當的平衡。由于作者的邏輯專業，他在邏輯方面加了相當重要的材料，包括第1章的前言的概括，的確使本書生色不少。與此相對，一些艱深的數學遠遠超出一般讀者甚至數學專業讀者的理解，忍痛割愛也在所難免。作為補充，有興趣的讀者可參看國內外有關布爾巴基的論述。

數學，正如其他任何科學一樣，除了建立理論之外，解決大問題是進展的標志。無疑，問題推動數學進步，數學理論與方法的進步也促使許多歷史遺留的大問題逐步得到解決，況且。數學永遠有研究不完的大小問題，這也是數學能永葆青春的保證。對20世紀來講，希爾伯特在1900年提出的23個問題有相當重要的意義，本書也把一些問題的解決列入其中。

時至今日，數學中已解決的問題和尚未解決的問題非常之多。在本書的最後一章，作者舉出他認為當時還沒有解決的四大問題︰古希臘時期的完美數問題，19世紀的黎曼假設，20世紀初提出的龐加萊猜想以及20世紀70年代提出的P=NP問題。除了老掉牙的完美數問題之外，另外三個問題也是克萊（Clay）數學研究所在2000年提出的七個“千年問題”中的三個。所謂英雄所見略同，而這無疑反映了數學界關注的焦點。當然作者也考慮到這三個問題能夠為有一定數學知識的人所理解，盡管其解決對于數學家來講是莫大的挑戰。當然，大量數學問題是一般人甚至隔行的數學家也難以理解的。它們的重要性只能為少數大家及專家體會，在一本帶有普及性的著作中，不得不一筆帶過或者根本略而不談。即使是一般讀者能夠理解的數學問題（約佔全部問題的1%到2%）經過許多數學家經年累月的努力，在20世紀也交了一份相當令人滿意的答卷。已經解決的問題有︰17世紀提出的開普勒猜想和費馬大定理、19世紀提出的極小曲面問題和四色猜想、1900年希爾伯特提出的超越數問題（第七問題）和晶體群問題（第十八問題）都在20世紀得到解決，並且寫進這本書。20世紀初，龐加萊提出的龐加萊猜想，連同瑟斯頓（W．Thurston）的幾何化猜想，在21世紀初得到了光輝的、完滿的解決。俄國數學家佩雷爾曼（G．Perelman）最終在2010年獲得為七個“千年難題”而設置的百萬美元大獎（不過據說他拒領）。當然，方法之難也只有少數大家及專家能夠掌握。

為了讓讀者能夠體會一點20世紀數學的味道，作者采取一個好辦法，就是宣告某某數學家獲得國際數學大獎。眾所周知，數學沒有諾貝爾獎，而國際公認的數學大獎也少得可憐，在20世紀中後期，只有兩項國際大獎為人稱道，一項是從1936年起每四年一次召開的國際數學家大會上頒發的菲爾茲（Fields）獎，它是獎給40歲以下的年輕數學家的，到2010年，共有52位數學家獲獎。另一項是沃爾夫（Wolf）數學獎，它從1978年起幾乎每年頒發，它像諾貝爾獎一樣，沒有年齡限制，帶有終身成就獎的味道。到2010年，正好有50位大數學家獲此殊榮。這些獲獎者無疑代表著20世紀下半葉數學的最高成就。因此，書中也介紹了其中一些獲獎者的成就，例如科恩（P．Cohen）的獨立性定理（本書2 10節）、托姆（R．Thom）的奇點理論（本書2.11節）、柯爾莫哥洛夫（A．N．Kolmogorov）的概率論公理化（本書3.5節）等。這兩個獎多是獎給純粹數學方面的。21世紀傳來大好消息，挪威政府出資設立阿貝爾（Abel）獎。其獎金與諾貝爾獎相當，獎給當代最著名的數學家。阿貝爾獎從2003年起每年頒發，至2010年，共有十位大數學家獲獎。首位獲獎者是法國數學家塞爾（J．P．Serre），他是第一位三冠王，之前他也獲得菲爾茲獎和沃爾夫獎。他獲得菲爾茲獎時還不滿28周歲，這項紀錄至今無人打破。他的工作可謂“博大精深”，不過只能在本書中一帶而過。

布爾巴基學派雖然大大擴充了純粹數學領域，但對于一些經典數學領域，特別是應用數學及與計算機有關的領域重視不夠。而20世紀的數學特點正是純粹數學與應用數學再度結合，它們的結合對雙方都起著促進作用，特別是20世紀末的數學物理學。不過，這些領域比數學和物理的專門分支反而更加艱深。本書的一大特點就是專門論述前期的應用數學。例如數學與相對論和量子力學平行發展，對讀者會有很大啟發。

20世紀科技方面最偉大的成就當屬電子計算機，它可以看成數學與電子學的結合的產物，同時給數學提出大量理論問題。它們對未來社會的發展至關重要，其中許多分支已進入尋常百姓家，如混沌理論（本書4.3節）、分形理論（本書4.5節）等。

正如英譯本的副標題“上100年30個最重大的問題”所明示的，本書論述了20世紀數學中30項成就，純粹數（第2章）15項，應用數學（第3章）10項，加上與計算機有關的5項，總共15項，使得讀者對于龐大的數學領域能有一個初步但全面的認識。盡管每一節讀懂都並非易事。第1章基礎雖在全書最前面，卻是點楮之筆。讀者讀完全書之後，如能回來重讀基礎這章，對于數學的認識也許會有提高。而讀者如果想要獲得更寬廣的眼界，建議讀戴森（F．Dyson）的前言，他本人是沃爾夫物理學獎的獲得者，對數學也很內行，盡管如他所說，物理學家和數學家看待數學的角度有所不同。其實，書中許多應用數學方面的成就，也使他們獲得諾貝爾物理學獎或經濟學獎、沃爾夫物理學獎以及圖靈獎。而這正恰當地反映出在21世紀數學必將大有可為！

胡作玄
2010.12