自然科學中確定性問題的應用數學

第1部分 數學與自然科學相互作用總覽
第1章 什麼是應用數學？
1.1 應用數學的本質
1.1.1 應用數學的範圍、目的與實踐
1.1.2 應用數學與純粹數學的對比
1.1.3 應用數學與理論科學的對比
1.1.4 工程學中的應用數學
1.1.5 本卷計劃
1.1.6 把應用數學統一起來的某些概念
1.2 星系結構分析導引
1.2.1 支配星系行為的物理定律
1.2.2 宇宙的構造組元
1.2.3 星系分類
1.2.4 星系的組成
1.2.5 恆星體系的動力學
1.2.6 橫越銀盤的恆星分布
1.2.7 星系螺旋的密度波理論
1.3 黏菌阿米巴的聚集
1.3.1 關于黏菌阿米巴的一些事實
1.3.2 數學模型的表述
1.3.3 精確解︰均勻態
1.3.4 把聚集的開始當作失穩問題來分析
1.3.5 對于分析進行解釋
附錄1.1 關于應用數學的某些見解
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第2章 確定性系統和常微分方程
第3章 隨機過程與偏微分方程
第4章 疊加法、熱流動和傅里葉分析
第5章 傅里葉分析的進一步討論
第Ⅱ部分 用常微分方程說明的一些基本過程
第6章 簡化、量綱分析和尺度化
第7章 正則擾動理論
第8章 一個生理流動問題的求解及其所示明的技巧
第9章 奇異擾動理論引論
第10章 奇異擾動理論在生化動力學問題中的一個應用
第11章 應用于單擺問題的三種技巧
第Ⅲ部分 連續介質場理論引論
第12章 桿的縱向運動
第13章 連續介質
第14章 連續介質力學的場方程
第15章 無黏性流體的流動
第16章 位勢理論
參考書目
提示和答案

這本教科書是一本應用數學的導論，主要講述如何去建立、分析並解釋用以闡明自然科學中重要問題的那些數學模型。本書的目的是為數學、（自然）科學以及工程學方面的大學高年級學生和研究生提供他們所關心的材料。本書的幾種初試版本的試教結果表明，許多學生確實感到這些材料頗有興味、值得一學。

以本書為基礎的這樣一門課程，無疑應該列入培養應用數學家的主課之中，而且，近年來美國數學界已經強調對所有數學系學生講授一點應用數學的重要性。這種做法之所以得到推薦，是由于應用數學的影響日益擴大，以及對于將來要在大學中任教的數學家來說，這樣做對于他們以後為非數學專業學生授課會大有幫助。至于科學家和工程師，他們的理論工作往往與應用數學家的工作無多大差別，因而他們在探討本書所述及的問題時1就會找到一些有用的材料。

把各種有用的數學技巧搜集一起，並通過求解數學物理中的經典問題來闡明這些技巧，這樣的書籍已不乏其例。不過，本書別具一格。其特點是，我們先選擇一個重要的科學問題，其求解過程涉及一些有用的數學技巧；在簡短地討論了所需的科學背景之後，我們再小心地對有關的數學問題作出表述（表述數學問題這一步通常是困難的。實際上很多書籍都沒有講清楚這一步，不過我們針對建立數學模型過程中存在的難點，下了應有的工夫）。其後，我們就有可能引進新的技巧來求解數學問題，或者把更加簡明的教科書中已講過的技巧加以推廣；在大多數情況下，我們一定要弄清楚所得的數學結果對于當初引出問題的那個科學過程，究竟說明了些什麼。

大體說來，我們采用了“實例研究（case study）”法。這種方法不是沒有弊病的。因為我們不再能夠依照嚴密的邏輯結構去討論問題；同時也不能劃定這些方法的應用範圍。此外，由于經常要運用試探式的、不嚴密的推理，因而所得結果不是無可置疑的。但是，在處理實際問題時，往往需要用到一些尚不能判定其合理與否的技巧。因而在處理這類問題時，就有一種躍躍欲試之感。而且，數學家和科學家經常要運用試探式的推理，往往還要求自己去確定已經用于解決此一問題的方法，是否也適用于解決另一問題。這類經驗該是每個學生要學會的一部分本領，

本書采用了一個冗長的書名，這是因為我們想在一開始就把本書的範圍劃清楚。一本全面的應用數學引論，理應包括社會科學和管理科學方面的題材，但我們只限于自然科學方面。並且，與應用數學研究的比例大體相當，本卷論題主要取自物理科學，但也有化學與生物學方面的代表性題材。我們在討論概率性模型上所用的篇幅，要比一本比例得當的書籍少些，但我們強調了概率性觀點與確定性觀點之間的關系。此外，本書幾乎只用到分析法；雖然多次提到數值法，但僅僅作了簡短討論。

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