數學橋︰對高等數學的一次觀賞之旅

序言
1．數
1.1 計數
1.1.1 自然數
1.1.1.1 自然數的構造
1.1.1.2 算術
1.1.2 整數
1.1.2.1 零和負整數的性質
1.1.3 有理數
1.1.4 序
1.1.4.1 使N，Z和Q有序
1.1.5 從一到無窮大
1.1.5.1 無窮集的比較
1.1.6 無窮算術
1.1.7 超越
1.2 實數
1.2.1 怎樣產生無理數
1.2.1.1 實數的代數描述
1.2.2 有多少個實數
1.2.3 代數數和超越數
1.2.3.1 超越數的例子
1.2.4 連續統假設和更大的無窮大
1.3 復數及其高維同伴
1.3.1 復數i的發現
1.3.2 復平面
1.3.2.1 復數在幾何中的應用
1.3.3 棣莫弗定理
1.3.4 多項式和代數基本定理
1.3.4.1 多項式方程的求解
1.3.5 還有其他的數嗎
1.3.5.1 四元數
1.3.5.2 凱萊數
1.4 素數
1.4.1 計算機、算法和數學
1.4.2 素數的性質
1.4.3 素數有多少個
1.4.3.1 素數的分布
1.4.4 歐幾里得算法
1.4.4.1 歐幾里得算法的速度
1.4.4.2 連分數
1.4.5 貝祖引理和算術基本定理
1.5 模整數
1.5.1 模為素數的算術
1.5.1.1 一個關于素數、的公式
1.5.1.2 費馬小定理
1.5.2 RSA密碼
1.5.2.1 建立RSA體制
1.5.2.2 一種RSA密碼體制
2．分析
3．代數
4．微積分與微分方程
5．概率
6．理論物理
附錄A 給讀者的練習
A.1 數
A.2 分析
A.3 代數
A.4 微積分與微分方程
A.5 概率
A.6 理論物理
附錄B 閱讀進階
附錄C 基本數學知識
C.1 集合
C.1.1 符號
C.1.2 集合的運算
C.2 邏輯和證明
C.2.1 證明的形式
C.3 函數
C.3.1 復合函數
C.3.2 階乘
C.3.3 冥、指數和二項式定理
C.3.4 指數、e和自然對數
C.3.5 三角函數
C.3.6 雙曲函數
C.4 向量和矩陣
C.4.1 向量的運算
C.4.2 極坐標
C.4.3 矩陣
C.5 微積分
C.5.1 微分
C.5.2 積分
C.5.3 位置、速率和加速度
C.5.4 簡諧運動
附錄D 字母與符號
D.1 希臘字母表
D.2 數學符號
譯者後記

大學數學難學是一個眾所周知的事實。但它到底有多難，直到我開始學習大學數學時，我才明白，對于要把注意重點從高中數學中以重復性操練為基礎的常規解題訓練轉移到作為真正數學的智力體操上來，我毫無準備。慶幸的是，在我的奮力拼搏下，我通過了最初幾個月的學習，而且逐漸地開始理解正式講課中無處不在的大量符號的含義。我發現，數學是一門既令人驚嘆又讓人愉悅的生機勃勃的學科，盡管它遠在一條由形式化、簡潔性和邏輯性構成的水流湍急、險象環生的大河的那一側，

幾年以後，我在從事研究和講授數學的過程中，發現一代又一代的數學家苗子仍在與我當初面臨的同樣問題作戰，很自然，一些學生很突出，很快成了技巧嫻熟的數學家。一些學生沒能完成向更高層次數學的過渡，于是放棄，不再繼續學習數學。其他一些學生很成功，這種“成功”在于能將符號搬來弄去，並在考試中取得高分，但是他們不具備任何有意義的數學悟性，第四類由有可能成為既技巧嫻熟又聰穎過人的數學家的學生組成，但他們仍然覺得向更高層次數學的過渡很困難，這四類學生的共同之處是，他們都是有才能的學生，但他們在中學階段沒有接觸更高層次的數學就進了大學。有那麼多的學生最終歸于後兩類，這讓我一直感到吃驚。

進一步的調查發現，看來幾乎沒有一種圖書資料能以一種清晰的、直觀的，特別是以一種有趣的方式來提供這種過渡性材料。一方面，我們有著標準的教材。當然，這些教材是必需的，但從整體上講它們也是內容非常密集、閱讀非常困難、編排非常緊湊的東西，除了適用于專門的學習和參考外，其他什麼都不適用，另一方面，還有許多精彩的“普及性”數學圖書。然而，這些圖書往往關注數學中十分前沿的尖端性研究論題，這種論題只與一小部分成功的數學家直接相關，而且只經過數年的研究，此外，這些圖書往往不包含任何實在的數學細節；它們有點像在對數學進行觀光，或對人類智能進行探視，對一個景點拍一張照，然後趕往下一個景點。雖然它們是長期靈感的重要來源，或者就是一種令人愉快的讀物，但閱讀這種圖書幾乎不需要數學技巧，人們也幾乎不能從中得到任何數學技巧。

我覺得這兩個極端之間肯定可以有一個折衷點︰一種真正的數學書，它表述內容的風格比通常的數學書更具有談話性、更為直觀而且更為親切，由于這些原因，我靈感迸發，著手寫這本書——一本雜交型的“普及性教科書”，一本我在從事數學家職業之前就應該樂于擁有的書。本書的目標很簡單︰

以一種只需要基本的高中數學為起點的方式，發掘典型的數學學位課程中的核心元素和亮點。強調許多令人驚嘆的結果所具有的自然之美和實用價值，同時保持數學上的純正性。

于是，經過數年的努力，這本書現已完成，我想讓它適用于以下人群︰

●有抱負的數學家，他們想更多地了解關于數學的真正藝術。

●數學專業本科畢業生，他們願意閱讀關于其大學數學課程中各個“亮點”的一種引入入勝的概覽性讀物。

●科學家、工程師和熱情的業余愛好者，他們想知道數學家到底是干什麼的。

●數學教師，他們希望對較高層次的內容有一種使入耳目一新的表述，以從中找到例子來激發自己和學生的靈感。

●進修高等數學概要或適合詩人的數學等課程的學生。

就像剛才提到的，數學是難學的。這本書也不例外。由于所述概念的豐富性，閱讀本書需要在腦力上付出高度的努力。在書中各個不同的地方，需要對附錄中所詳細敘述的數學知識有一個基本水平上的知曉或熟悉。然而，本書非常具有談話性，而且各個部分相對獨立，因此可以在不同的深度水平上閱讀。而且，一個論題對另一個論題的依賴性也保持在最低水平。只要可能，每個新章節都從頭講起，所以如果某個領域變得太難懂了，或者不令你感興趣了，你可以轉到下一個領域。此外，為了避免破壞內容的流暢性或遺漏掉作為數學思想之基礎的關鍵點，在一些地方我對某些技術性較強的細節略而不講，但願這些地方已被清楚地指明，而這些省略不會影響到大多數讀者。

數學是一種激動人心而又充滿活力的藝術形式，我希望本書能給你帶來對數學之真正意義的某種領悟。

斯蒂芬‧弗萊徹‧俅森
2003年4月