一般拓撲學

序
第0章 預備知識
0．1 集
0．2 子集與余集；並與交
0．3 關系
0．4 函數
0．5 序
0．6 代數概念
0．7 實數
0．8 可數集
0．9 基數
0．10 序數
0．11 笛卡兒乘積
0．12 Hausdorff極大原理
第1章 拓撲空間
1．1 拓撲和鄰域
1．2 閉集
1．3 聚點
1．4 閉包
1．5 內部和邊界
1．6 基和子基
1．7 相對化；分離性
1．8 連通集
問題
第2章 Moore-Smith收斂
2．1 引論
2．2 有向集和網
2．3 子網和聚點
2．4 序列和子序列
2．5* 收斂類
問題
第3章 乘積空間和商空間
3．1 連續函數
3．2 乘積空間
3．3 商空間
問題
第4章 嵌入和度量化
4．1 連續函數的存在
4．2 嵌入到立方體內
4．3 度量和偽度量空間
4．4 度量化
問題
第5章 緊空間
5．1 等價性
5．2 緊性和分離性
5．3 緊空間的乘積
5．4 局部緊空間
5．5 商空間
5．6 緊擴張
5．7 Lebesgue覆蓋引理
5．8* 仿緊性
問題
第6章 一致空間
6．1 一致結構和一致拓撲
6．2 一致連續性；乘積一致結構
6．3 度量化
6．4 完備性
6．5 完備擴張
6．6 緊空間
6．7 度量空間特有的性質
問題
第7章 函數空間
7．1 點式收斂
7．2 緊開拓撲和聯合連續性
7．3 一致收斂
7．4 在緊集上的一致收斂
7．5 緊性和同等連續性
7．6* 齊-連續性
問題
參考文獻
附錄A 初等集論
A．1 分類公理圖式
A．2 分類公理圖式(續)
A．3 類的初等代數
A．4 集的存在性
A．5 序偶：關系
A．6 函數
A．7 良序
A．8 序數
A．9 整數
A．10 選擇公理
A．11 基數
附錄B 譯者為本書增添的附錄
B．1 不分明拓撲學介紹
B．2 不分明集與不分明點
B．3 不分明拓撲空間
B．4 緊不分明拓撲空間
B．5 不分明連續函數
B．6 乘積與商不分明拓撲空間
B．7 不分明網的Moore-Smith收斂
參考文獻
索引

本書系統地介紹了一般拓撲學的部分內容，這些內容已被證明在某些數學分支中是很有用處的，尤其希望它成為學習近代分析的基礎。只是由於朋友們的極力勸說，我才沒有將本書命名為《青年數學分析工作者須知》。

本書是根據作者19461947年在芝加哥大學、1948-1949年在加利福尼亞大學、1950-1951年在杜蘭大學（TulaneUniversity）幾種不同的講義為基礎而寫成的，原打算把它作為參考書和教科書。這兩個目的有些不太一致，特別是作為一本參考書，它應提供這方面一個相當全面的概括，因此在內容上比正規教程敘述得要更廣泛一些，其中許多細節主要是為作參考書而安排的，例如，為了包含所有最常用的術語，我作了相當大的努力，並把它們都羅列在索引中。但是，另一方面，因為它又是一本教科書，所以對前幾章論述得相當詳細。由於同樣的原因，加入了一章預備知識，雖然不是系統論述的一部分，但它包羅了本書主要部分所必需的那些題材，並且我發現這些題材對許多學生來說還是新穎的。在這一章里比較重要的結果是有關集論方面的一些定理，而它們的系統論述已在附錄中給出。附錄與本書的其余部分是完全獨立的，除此而外，本書每一部分都是與其前面的論述相關聯的。

本書的敘述方式有一些與眾不同之處。有時在節前加上一個星號，表示該節是一段題外之言。許多同樣或者更有意義的題材，放在問題中加以論述，而這些問題可看成是討論的整體的一部分。這些問題中有少數是習題，其主要目的在於幫助理解所使用到的概念。還有一些是反例，它們划分出了可能成為定理的界限。有些小理論就其本身而言是有趣味的，又有一些是一般拓撲在不同領域中應用的引論。最後附有參考文獻，以便有興趣的讀者（喜愛獨立思考者）可以進一步深入學習。書末的文獻中包含了有關本書議題的絕大部分近代貢獻和一些早期的突出成就，以及少數「交叉領域」的參考文獻。

我采用了一個特殊的約定，每個證明的結尾用I來表示。這個記號是屬於哈爾莫斯（Halmos）的。