數學建模導引

第一章 數學模型
　1.1　模型與數學模型
　 1.1.1　實物模型與理論模型
　 1.1.2　數學模型
　1.2　數學知識與數學模型
　 1.2.1　概念型數學模型
　 1.2.2　方法型數學模型
　 1.2.3　結構型數學模型
　1.3　數學解題與數學模型
　 1.3.1　模型的概括性使解題思路明快
　 1.3.2　模型的直觀性使解題思路清晰
　 1.3.3　模型的相似性使解題方法簡化
　 1.3.4　模型的抽象性使解題路子拓寬
　1.4　數學發展與數學模型
　1.5　各類科學與數學模型
　 1.5.1　物理學等自然科學與數學模型
　 1.5.2　工程學的研究與數學模型
　 1.5.3　生物科學與數學模型
　 1.5.4　經濟學的研究與數學模型
　 1.5.5　語言學的研究與數學模型
　1.6　數學模型的特性、功能與分類
　 1.6.1　數學模型的主要特性
　 1.6.2　數學模型的主要功能
　 1.6.3　數學模型的分類
　1.7　中學數學教學與數學模型
　 1.7.1　中學數學的教與學是數學模型的教與學
　 1.7.2　模型教具教學與逆數學模型法
　思考題
　思考題參考解答
第二章　數學建模的意義
　2.1　數學建模與數學模型
　2.2　建立數學模型的一般要求與一般步驟
　 2.2.1　建立數學模型的一般要求
　 2.2.2　建立數學模型的一般步驟
　2.3　數學建模過程的心理分析
　2.4　數學建模中的數學方法
　2.5　數學建模教育
　 2.5.1　數學建模教育的性質
　 2.5.2　數學建模教育的功能
　思考題
　思考題參考解答
第三章　數學建模的邏輯思維方法
　3.1　抽象
　　3.1.1　哥尼斯堡七橋問題
　3.1.2　超市保安的最少安排問題
　3.1.3　「生物鍾」調整現象
　3.2　歸納
　 3.2.1　地心說與日心論的提出及開普勒三定律的發現
　 3.2.2　原子量的差異與元素周期律表
　3.3　演繹
　 3.3.1　萬有引力定律的發現
　 3.3.2　癌細胞的識別問題
　3.4　類比
　 3.4.1　摸彩問題
　 3.4.2　電話系統呼叫問題
　 3.4.3　項目反應理論問題
　3.5　模擬
　 3.5.1　中醫的計算機計量診斷
　 3.5.2　容器置物問題
　3.6　移植
　 3.6.1　萬有引力模型
　 3.6.2　生物控制論的產生
　思考題
　思考題參考解答
第四章　數學建模的非邏輯思維方法
第五章　數學建模的機理分析方法
第六章　數學建模的數據分析方法
第七章　數學建模的學科知識方法
參考文獻
作者出版的相關書籍與發表的相關文章目錄
編后語

我和沈文選教授有過合作，彼此相熟。不久前，他發來一套數學普及讀物的叢書目錄，包括數學眼光、數學思想、數學應用、數學模型、數學方法、數學史話等，洋洋大觀。從論述的數學課題來看，該叢書的視角新穎，內容充實，思想深刻，在數學科普出版物中當屬上乘之作。

閱讀之余，忽然覺得公眾對數學的認識很不相同，有些甚至是彼此矛盾的。例如:

一方面，數學是學校的主要基礎課，從小學到高中，12年都有數學；另一方面，許多名人在說「自己數學很差」的時候，似乎理直氣壯，連臉也不紅，好像在宣示:數學不好，照樣出名。

一方面，說數學是科學的女王，「大哉數學之為用」，數學無處不在，數學是人類文明的火車頭；另一方面，許多學生說數學沒用，一輩子也碰不到一個函數，解不了一個方程，連相聲也在諷刺「一邊向水池注水，一邊放水」的算術題是瞎折騰。

一方面，說「數學好玩」，數學具有和諧美、對稱美、奇異美，歌頌數學家的「美麗的心靈」；另一方面，許多人又說，數學枯燥、抽象、難學，看見數學就頭疼。

數學，我怎樣才能走近你，欣賞你，擁抱你？說起來也很簡單，就是不要僅僅埋頭做題，要多多品味數學的奧秘，理解數學的智慧，拋卻過分的功利，當你把數學當做一種文化來看待的時候，數學就在你心中了。

我把學習數學比做登山，一步步地爬，很累，很苦。但是如果你能欣賞山林的風景，那麼登山就是一種樂趣了。

登山有三種意境。

首先是初識階段。走入山林，爬得微微出汗，坐擁山色風光。體會「明月松間照，清泉石上流」的意境。當你會做算術，會記賬，能夠應付日常生活中的數學的時候，你會享受數學給你帶來的便捷，感受到好似飲用清泉那樣的愉悅。

其次是理解階段。爬到山腰，大汗淋漓，歇足小坐。環顧四周，雲霧環繞，滿目蒼翠，心 曠神怡。正如蘇軾名句:「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同；不識廬山真面目，只緣身在此．山中。」數學理解到一定程度，你會感覺到數學的博大精深，數學思維的縝密周全，數學的簡捷之美，使你對符號運算能夠有愛不釋手的感受。不過，理解了，還不能創造。「采藥山中去，雲深不知處。」對於數學的偉大，還莫測高深。

第三則是登頂階段。攀岩涉水，越過艱難險阻，到達頂峰的時候，終於出現了「會當凌絕頂，一覽眾山小」的局面。這時，一切疲乏勞頓、危難困苦，全都拋到九霄雲外。「雄關漫道真如鐵」，欣賞數學之美，是需要代價的。當你破解了一道數學難題，「驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」的意境，是語言無法形容的快樂。

好了，說了這些，還是回到沈文選先生的叢書。如果你能靜心閱讀，它會幫助你一步步攀登數學的高山，領略數學的美景，最終登上數學的頂峰。於是勞頓着，但快樂着。

信手寫來。權作為序。

張奠宙

2007年11月13日

於滬上蘇州河邊

附文

（文選先生編著的叢書，是一種對數學的欣賞。因此，再次想起數學思想往往和文學意境相通，年初曾在《文匯報》發表一短文，附錄於此，算是一種呼應）

數學和詩詞的意境

張奠宙

數學和詩詞，歷來有許多可供談的的材料。例如:

一去二三里，煙村四五家；

樓台七八座，八九十支花。

把十個數字嵌進詩呈，讀來琅琅上口。鄭板橋也有詠雪詩:

一片二片三四片，五片六片七八片；

千片萬片無數片，飛入梅花總不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。不過，以上兩詩中盡管嵌入了數字，卻實在和數學沒有什麼關系。

數學和詩詞的內在聯系，在於意境。李白《送孟浩然之廣陵》詩雲:

故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。

孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。

數學名家徐利治先生在講極限的時候，總要引用「孤帆遠影碧空盡」這一句，讓大家體會一個變量趨向於0的動態意境，煞是傳神。

近日與友人談幾何，不禁聯想到初唐詩人陳子昂《登幽州台歌》中的名句:

前不見古人，后不見來者；

念天地之悠悠，獨愴然而涕下。

一般的語文解釋說:上兩句俯仰古今，寫出時間綿長；第三句登樓眺望，寫出空間遼闊；在廣闊無垠的背景中，第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒，兩相映照，分外動人。然而，從數學上看來，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）。陳老先生以自己為原點，前不見古人指時間可以延伸到負無窮大，后不見來者則意味着未來的時間是正無窮大。后兩句則描寫三維的現實空間:天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大， 產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，數學家和文學家是可以彼此相通的。進一步說，愛因斯坦的四維時空學說，也能和此詩的意境相（彳釒亍）接。

貴州六盤水師專的楊老師告訴我他的一則經驗。他在微積分教學中講到無界變量時，用了宋朝葉紹翁《游園不值》中的詩句:

滿園春色關不住，一枝紅杏出牆來。

學生每每會意而笑。實際上，無界變量是說，無論你設置怎樣大的正數M，變量總要超出你的范圍，即有一個變量的絕對值會超過M。於是，M可以比喻成無論怎樣大的園子，變量相當於紅杏，結果是總有一枝紅杏越出園子的范圍。詩的比喻如此恰切，其意境把枯燥的數學語言形象化了。

數學研究和學習需要解題，而解題過程需要反復思索，終於在某一時刻出現頓悟。例如，做一道幾何題，百思不得其解，突然添了一條補助線，問題豁然開朗，欣喜萬分。這樣的意境，想起了王國維用辛棄疾的詞來描述的意境：「眾里尋它千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。」一個學生，如果沒有經歷過這樣的意境，數學大概是學不好的了。