抽象代數I

第1章 群、環、體、域的基本概念
§1.0 預備知識
習題
§1.1 預備知識
1.1.1 群的定義和簡單性質
1.1.2 對稱群和交錯群
1.1.3 子群、陪集、Lagrange定理
1.1.4 正規子群與商群
1.1.5 同態與同構，同態基本定理，正則表示
1.1.6 群的同構定理
1.1.7 群的直和與直積
習題
§1.2 環的基本概念
1.2.1 定義和簡單性質
1.2.2 子環、理想及商環
1.2.3 環的同態與同構
1.2.4 環的直和與直積
習題
§1.3 體、域的基本概念
1.3.1 體、域的定義及例
1.3.2 四元整體
1.3.3 域的特征
習題
第2章 群
§2.1 幾種特殊類型的群
2.1.1 循環群
2.1.2 單群，An（n>/5）的單性
習題
§2.2 群在集合上的作用和Sylow定理
2.2.1 群在集體上的作用
2.2.2 Sylow定理
習題
§2.3 合成群列
2.3.1 次正規群列與合成群列
2.3.2 Schreier定理與Jordan-Holder定理
習題
§2.4 自由群
習題
§2.5 正多面體及有限旋轉群
2.5.1 正多面體的旋轉變換群
2.5.2 三維歐氏空間的有限旋轉群
習題
第3章 環
§3.1 環的若干基本知識
3.1.1 中國剩余定理
3.1.2 素理想與極大理想
3.1.3 分式域與分式化
習題
§3.2 整環內的因子分解理論
3.2.1 整除性、相伴、不可約元與素元
3.2.2 唯一因子分解整環
3.2.3 主理想整環與歐幾里得環
3.2.4 唯一分解整環上的多項環
習題
第4章 域
§4.1 域擴張的基本概念
4.1.1 域的代數擴張與超越擴張
4.1.2 代數單擴張
4.1.3 有限擴張
4.1.4 代數封閉域
習題
§4.2 分裂域與正規擴張
4.2.1 多項式的分裂域
4.2.2 正規擴張
4.2.3 有限域
習題
§4.3 可分擴張
4.3.1 域上的多項式的重因式
4.3.2 可分多項式
4.3.3 可分擴張與不可分擴張
習題
§4.4 Galois理論簡介
習題
§4.5 環與域的進一步知識簡介
4.5.1 與幾何的聯系
4.5.2 與數論的聯系
第5章 模與格簡介
§5.1 模的基本概念
5.1.1 模的定義及例
5.1.2 子模與商模
5.1.3 模的同態與同構
習題
§5.2 格的基本概念
5.2.1 橈的定義及例
5.2.2 模格與分配格
5.2.3 Boole代數
習題
習題提示與解答
參考文獻
符號說明
名詞索引

自1995年以來，在姜伯駒院士的主持下，北京大學數學科學學院根據國際數學發展的要求和北京大學數學教育的實際，創造性地貫徹教育部「加強基礎，淡化專業，因材施教，分流培養」的辦學方針，全面發揮我院學科門類齊全和師資力量雄厚的綜合優勢，在培養模式的轉變、教學計划的修訂、教學內容與方法的革新，以及教材建設等方面進行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效．2001年，北京大學數學科學學院的這項改革成果榮獲全國教學成果特等獎，在國內外產生很大反響，

在本科教育改革方面，我們按照加強基礎、淡化專業的要求，對教學各主要環節進行了調整，使數學科學學院的全體學生在數學分析、高等代數、幾何學、計算機等主干基礎課程上，接受學時充分、強度足夠的嚴格訓練；在對學生分流培養階段，我們在課程內容上堅決貫徹「少而精」的原則，大力壓縮後續課程中多年逐步形成的過窄、過深和過繁的教學內容，為新的培養方向、實踐性教學環節，以及為培養學生的創新能力所進行的基礎科研訓練爭取到了必要的學時和空間．這樣既使學生打下寬廣、堅實的基礎，又充分照顧到每個人的不同特長、愛好和發展取向．與上述改革相適應，積極而慎重地進行教學計划的修訂，適當壓縮常微、復變、偏微、實變、微分幾何、抽象代數、泛函分析等後續課程的周學時．並增加了數學模型和計算機的相關課程，使學生有更夫的選課余地，

在研究生教育中，在注重專題課程的同葉，我們制定了30多門研究生普選基礎課程（其中數學系18門），重點拓寬學生的專業基礎和加強學生對數學整體發展及最新進展的了解，

教材建設是教學成果的一個重要體現，與修訂的教學計划相配合，我們進行了有組織的教材建設．計划自1999年起用8年的時間修訂、編寫和出版40余種教材．這就是將陸續呈現在大家面前的《北京大學數學教學系列叢書》，這套叢書凝聚了我們近十年在人才培養方面的思考，記錄了我們教學實踐的足跡，體現了我們教學改革的成果，反映了我們對新世紀人才培養的理念，代表了我們新時期的數學教學水平，

經過20世紀的空前發展，數學的基本理論更加深入和完善，而計算機技術的發展使得數學的應用更加直接和廣泛，而且活躍於生產第一線，促進著技術和經濟的發展，所有這些都正在改變著人們對數學的傳統認識．同時也促使數學研究的方式發生巨大變化，作為整個科學技術基礎的數學，正突破傳統的范圍而向人類一切知識領域滲透，作為一種文化，數學科學已成為推動人類文明進化、知識創新的重要因素，將更深刻地改變著客觀現實的面貌和人們對世界的認識，數學素質已成為今天培養高層次創新人才的重要基礎，數學的理論和應用的巨大發展必然引起數學教育的深刻變革，我們現在的改革還是初步的，教學改革無禁區，但要十分穩重和積極；人才培養無止境，既要遵循基本規律，更要不斷創新，我們現在推出這會叢書，目的是向大家學習，讓我們大家攜起手來，為提高中國數學教育水平和建設世界一流數學強國而共同努力。

張繼平
2002年5月18日
於北京大學藍旗營