數學奧林匹克小叢書.高中卷.不等式的解題方法與技巧

1 證明不等式的基本方法
1.1 比較法
1.2 放縮法
1.3 分析法
1.4 待定系數法
1.5 標准化（歸一化）
習題1
2 和式的恆等變換
習題2
3 變量代換法
習題3
4 反證法
習題4
5 構造法
5.1 構造恆等式
5.2 構造函數
5.3 構造圖形
5.4 構造對偶式
5.5 構造數列
5.6 構造輔助命題
5.7 構造例子（反例）
習題5
6 局部不等式
習題6
7 數學歸納法與不等式證明
習題7
8 不等式與多變量函數極值
8.1 累次求極值法
8.2 磨光變換法
8.3 調整法
習題8
9 一些特殊的證明方法和技巧
9.1 斷開求和法
9.2 枚舉法
9.3 加「序」條件
9.4 一些非「對稱」不等式的處理方法
習題9
習題解答

數學競賽像其他競賽活動一樣，是青少年學生的一種智力競賽。在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽活動中，數學競賽的歷史最悠久、國際性強，影響也最大。我國於1956年開始舉行數學競賽，當時最有威望的著名數學家華羅庚、蘇步青、江澤涵等都積極參加領導和組織競賽活動，並組織出版了一系列青少年數學讀物，激勵了一大批青年學生立志從事科學事業。我國於1986年起參加國際數學奧林匹克，多次獲得團體總分第一，並於1990年在北京成功地舉辦了第31屆國際數學奧林匹克，這標志著我國數學競賽水平在國際上居領先地位，為各國科學家與教育家所矚目。

我國數學競賽活動表明，凡是開展好的地區和單位，都能大大激發學生的學習數學的興趣，有利於培養創造性思維，提高學生的學習效率。這項競賽活動，將健康的競爭機制引進數學教學過程中，有利於選拔人才.由數學競賽選拔的優勝者，既有踏實廣泛的數學基礎，又有刻苦鑽研、科學的學習方法，其中的不少青年學生將來會成為出色的科學工作者。在美國，數學競賽的優勝者中後來成名如米爾諾（J.W.Milnor）、芒福德（D.B.Mumford）、奎倫（D.Quillen）等都是菲爾茲數學獎的獲得者；在波蘭，著名數論專家辛哲爾（A.Schinzel）學生時代是一位數學競賽優勝者；在匈牙利，著名數學家費葉爾（L.Fejer）、里斯（M.Riesz）、舍貴（G.Szego）、哈爾（A.Haar）、拉多（T.Rado）等都曾是數學競賽獲獎者.匈牙利是開展數學競賽活動最早的國家，產生了同它的人口不成比例的許多大數學家！

在開展數學競賽的活動同時，各學校能加強聯系，彼此交流數學教學經驗，從這種意義上來說，數學競賽可能成為數學課程改革的「催化劑」，成為培養優秀人才的有力措施。

不過，應當注意在數學競賽活動中，注意普及與提高相結合，而且要以普及為主，使競賽具有廣泛的群眾基礎，否則難以持久。

當然，現在有些人過於關注數學競賽的成績，組織和參與都具有很強的功利目的，過分擴大數學競賽的作用，這些都是不正確的，違背了開展數學競賽活動的本意.這些缺點有其深層次的社會原因，需要逐步加以克服，不必因為有某些缺點，就否定這項活動。

我十分高興看到這套《數學奧林匹克小叢書》的正式出版。這套書，規模大、專題細。據我所知，這樣的叢書還不多見，這套書不僅對數學競賽中出現的常用方法作了闡述，而且對競賽題作了精到的分析解答，不少出自作者自己的研究所得，是一套很好的數學競賽專題教程，也是中小學生和教師的參考書。

這套小叢書的作者都是數學競賽教學和研究人員，不少是國家集訓隊的教練和國家隊的領隊。他們為我國開展數學競賽的活動和我國學生在IMO上取得成績、為國爭光作出了貢獻，為這套書盡早面世付出了艱辛的勞動。華東師大出版社在出版《奧數教程》和《走向IMO》等競賽圖書基礎上，策划組織了這套叢書，花了不少心血。我非常感謝作者們和編輯們在這方面所做的工作，並衷心祝願我國的數學競賽活動開展得越來越好。