模形式導引

第一章 橢圓函數
1 雙周期函數和格
2 橢圓函數及其基本性質
3 Weierstrass函數和橢圓函數域
3 Theta函數
問題
第二章 完全模群的Eisenstein級數G2k(T)
5 格函數、模函數，Eisenstein級數
6 G2（r）和Dedekind函數
問題
第三章 完全模群
7 完全模群的生成元
8 模變換及其不動點
9 完全模群的基本區域
10 平面的辛測度
問題
第四章 完全模群的同余子群
11 同余子群及其陪集分解
12 模變換群的不動點
13 模變換群的基本區域及生成元
14 幾個例子
問題
第五章 模函數的基本知識
15 模函數的一般概念與基本性質
16 半純模函數的基本性質
17 完全模群的模形式空間
18 極為零的半純模函數及其應用
問題
第六章 同余子群的模形式
19 同余子群的模形式空間的維數
20 同余子群的模形式的例子
21 Petersson內積
問題
第七章 Poincar 級數
第八章 完全模群的模形式空間上的Hecke算子
第九章 同余子群的模形式空間上的Hecke算子
第十章 模形式與Dirichlet級數
第十一章 兩個應用
第十二章 附錄
名詞索引
符號索引
參考書目

模函數與模形式，更一般地，自寧函數與自寧形式是數學的一個重要分支，它是在19世紀後期由J． H，Poincar6（1854——1912），及C．F．Klein（1804-1925）所創立的，在此之前，N． H．Abel（1802—1829）、C．G．J，Jacobi（1804—1851）、K T．W，Weierstra．ss （ 1815—1897），及F．G． M．Eisenstein（1823—1852）等對與它有密切關系的橢圓函數和橢圓曲線作了深入研究

模形式理論與數論有著天生的聯系例如，Riemann給出的Riemann ζ函數的函數方程的兩個證明中的一個就是利用模形式的性質（見§30例1，LP＆P1，第十二章），這揭示了模形式與涵數的內在聯系；利用模形式理論在平方和問題（見§32，[EG]）及無限制整數分拆問題（見§DO，LP＆P1，第三十六章］）上得到了漂亮的結果

經歷了相當一段的沉默，大約從20世紀六七十年代起，模形式理論開始了一個新的蓬勃發展時期，以其不斷在著名數論問題上取得的重大成果與進展引起了數學界的廣泛重視．1983年，J．Tunnell（inuentiones Math.,72（1983）323～334．）應用橢圓曲線和模形式理論在同余數問題（見第一章問題20，21）上取得了重大成果（亦見[NK]），他給出了一個有效方法來判斷一個自然數刀是不是同余數，即刀是不是一個邊長為有理數的直角三角形的面積，1980年前後，在關於Linnik-Selberg和均值估計的Linnik Selberg猜想上取得了重要進展，更清楚地揭示了模形式理論和解析數論之間的密切聯系，並使得不少解析數論著名問題的結果得到了較大的改進（1985年在上海舉行的中國數學會五十周年年會上，我作了「解析數論的新進展」┅┅