自然科學中的混沌和分形

「自然科學中的混沌和分形」作為北京大學素質教育通選課已經講授了多次。開設此課的目的就是要使本科生了解混沌和分形這個領域的基本思想、科學研究方法，以及我們認識自然界時，從中能獲得的新觀點。這些觀點在其他課程中是很難得到的。由於着重給學生們以新思想，因而本書定位在非線性物理學，並以定性分析的方法，把混沌和分形的特征以及結構展現出來。為此，本書每一章的標題都是一個新觀點，以便學生了解思想實質，在今后的學習中不斷深入和應用。

本書共分十章，第一章說明自牛頓力學以來的300多年中，為什麼混沌和分形成為20世紀末和21世紀的學科前沿。第二章告訴大家一個新觀點：隨機的結果可以在無隨機的確定的系統中產生，這就在「確定」和「隨機」之間架起了橋梁。第三章用幾何的觀點和圖像來描述自然界多樣性的形態。這是一種定性分析的方法，它往往比定量分析方法來得簡單有效，可使學生做大量計算之前，就對問題「心中有數」了，物理意義更清楚、踏實了，不至於陷入大量計算的忙碌、盲目的境地，而現在學生掌握定性分析方法太少了。第四章則消除自然科學中常見的一種誤區：認為有周期性的輸入，必有周期性的輸出。這種誤區有可能使我們在尋找事物變化的原因時往往在外部找，而不去事物內部找。第五章從命題「如何描述大渦旋中有小渦旋，小渦旋中還有更小渦旋?」出發，引出了分形和分維的概念，說明像這種較難的命題，人們還是可以設法解決的。第六章從爭論不休的「為什麼維數還會有分數?」的討論中，從物理上說明分數維是一種不變量，對稱性中又增加了一種「標變對稱性」。第七章則把混沌和分形與大自然中的美麗的結構和斑圖（pattern）聯系起來，使自然界普遍存在的螺旋結構、樹枝結構、動物的各種斑紋結構等復雜結構的研究開了「竅」。第八章把物理狀態的演化從傳統的「時間序列演化」轉變成「軌道的演化」，這種想法令人思索。第九章則是物理的實際問題：異常擴散。從「正常擴散」到「異常擴散」，從「正態分布」到小概率的「長尾巴分布」，說明物理學研究的深入，研究側重點的變化。第十章介紹多尺度分析的工具——小波變換，它將分形概念和狀態的突變聯系起來。本書第五章由梁福明編寫，第十章由劉式適和辛國君編寫。其他各章均由劉式達編寫。

本書力圖通俗易懂，但為了說明難免用到一點微積分，但希望讀者盡量掌握新的思想觀點。