週期結構中光波的數值計算

１　麥克斯韋方程組/ １
１-１　基本方程/ １
１-２　電磁場的邊界條件/ ６
１-３　線性無耗散均匀介質中的麥克斯韋方程組/ ７
１-４　二維和一維結構中麥克斯韋方程組的簡化/ ８
１-５　線性均匀介質中的解/ １２
１-６　能量/ １７
１-７　本章小結/ １９

２　平板波導結構中的解/ ２１
２-１　麥克斯韋方程組在平板波導結構中的解/ ２２
２-２　垂直模式/ ２８
２-３　完美匹配層/ ３６
２-４　三點四階有限差分格式/ ４４
２-５　本章小結/ ６１

３　光子晶體平板散射問題的數值計算/ ６２
３-１　已有的數值計算方法/ ６４
３-２　散射問題的描述/ ６７
３-３　算子遞推法/ ７６
３-４　算子的垂直模式表示/ ８２
３-５　正常子區域ＤｔＮ 算子的構造/ ８６
３-６　數值實驗/ ９３
３-７　降維技術/ ９９
３-８　本章小結/ １０４

４　光子晶體平板波導特徵值問題的數值計算/ １０６
４-１　已有的數值計算方法/ １０７
４-２　問題描述/ １０８
４-３　線性特徵值問題/ １１１
４-４　非線性特徵值問題/ １１３
４-５　數值實驗/ １１８
４-６　本章小結/ １２１

５　交叉光栅散射問題的數值計算/ １２２
５-１　已有的數值計算方法/ １２３
５-２　瑞利展開/ １２４
５-３　光栅層的特徵模式/ １２８
５-４　最小二乘法/ １３８
５-５　數值實驗/ １４２
５-６　本章小結/ １５１

參考文獻/ １５２
後記 / １６９
 

序

袁利軍

　　人造週期電介質光學結構具有控製光波傳播的能力，是近年來研究的一個重要內容。週期光學結構被稱為光子晶體。光子晶體最重要的一個性質是存在「光子帶隙」，即頻率在某個特定區間的光波不能在週期結構中傳播。光子晶體的「光子帶隙」與半導體中「電子帶隙」類似，所以光子晶體為光子計算機的研發提供了最基本的理論。此外，基於光子晶體的「光子帶隙」，可以設計出很多重要的光學元器件，例如：光子晶體光纖、低閥值激光器、無損耗彎曲光路和反射鏡、低功率非線性開關以及頻率濾波器等。光子晶體如此重要，甚至有人認為它帶來的技術變革和影響可以與當年的半導體相提並論。

　　三維光子晶體可以同時在三個方向上控製光波的傳播。但是，微米級的三維光子晶體的制備非常困難。在實際應用中，人們更加關注光子晶體平板結構的研究。光子晶體平板是一種在垂直方向上厚度有限，在另外兩個方向上週期的結構。光子晶體平板也可以同時在三個方向上控製光波的傳播：在垂直方向上，通過全反射控製；在兩個週期方向上，通過「光子帶隙」控製。雖然光子晶體平板控製光波的能力不如三維光子晶體，但是它非常容易制備，是構成集成光路的基本元件。

　　數值模擬光波在介質中的傳播是一個非常熱門的研究方向。有很多學者做出了傑出的貢獻。研究方法主要包括頻率域中的有限元法、有限差分法、模式展開法等，以及時域中的時域差分法等。計算數學領域的研究者比較傾向於傳統的有限元法等方法，而光學領域的研究者更加喜歡用簡單的時域差分法，主要原因是有限元法對光學領域的研究者來說太複雜了。目前這些方法在模擬週期結構時都存在一些困難，特別是在處理週期邊界條件時具有很大困難，而且總的計算量太大，精度不高。

　　對於週期結構，利用週期性可以開發快速算法。我自進入碩士研究生階段，一直致力於開發各種週期光學結構的快速算法。本書集合了我在博士期間對光子晶體平板波導引導模式的計算問題、有限光子晶體平板的散射問題和交叉光栅散射問題所做的工作。本書通過構造電磁場在單位區域內的解析解，避免區域內部的離散，從而減少未知量的個數，而且精度非常高，編程也比較簡單。

　　要掌握本書中的知識，需要具備一些基本的計算數學、偏微分方程數值解和光學的知識。本書可作為廣大從事麥克斯韋方程組數值解的研究者和光學數值模擬的研究者的參考書籍，以及計算數學專業高年級本科學生和研究生的學習資料。

　　本書的研究成果主要在我的導師───香港城市大學陸雅言教授的指導下完成，在此表示衷心感謝。陸雅言教授不僅是我的授業恩師，也是人生道路上的導師。

　　本書能順利完成，特別要感謝我的妻子謝文豔女士。她無私的支持和愛是我完成本書的動力。還要感謝我的兒子帶來的無限歡樂。

　　由於作者水平有限，撰寫倉促，書中難免存在錯誤和不足之處，敬請讀者批評指正。